Escreva a integral dupla equivalente, invertendo a ordem de integração para cada um dos problemas abaixo.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{y}} d x d y

Passo 1

O enunciado pede que a gente troque a ordem de integração da integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{y}} dx\,dy.
Informações dadas:
  • A integração está feita primeiro em x (de 0 a \sqrt{y}) e depois em y (de 0 a 1).
  • Precisamos escrever uma integral equivalente com a ordem invertida: integrar primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Vamos entender o domínio de integração em termos de desigualdades. A integral original descreve o conjunto de pontos (x,y) tais que
0 \le y \le 1
e, para cada y fixo,
0 \le x \le \sqrt{y}.
Isso significa que o domínio D é
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\;0\le x\le \sqrt{y}\}.
Interpretação geométrica: para cada altura y entre 0 e 1 tomamos pontos x entre a vertical x=0 e a curva x=\sqrt{y}.

Passo 3

Transformamos a desigualdade x\le \sqrt{y} em algo que expresse y em função de x. Como x\ge 0 e \sqrt{y}\ge 0, ao elevar ambos os lados ao quadrado obtemos
x\le \sqrt{y}\quad\Longleftrightarrow\quad x^2 \le y.
Juntando com 0\le y\le 1, o domínio fica também descrito por
D=\{(x,y)\mid 0\le x,\; x^2\le y\le 1\}.

Passo 4

Agora projetamos o domínio na reta dos x para encontrar os limites externos da integral invertida. Qual é o menor e o maior x que aparecem no domínio?
  • O menor x é 0 (visto explicitamente).
  • O maior x ocorre quando y=1 e x pode chegar até \sqrt{1}=1.
    Portanto x varia em
0\le x\le 1.

Passo 5

Para um x fixo em [0,1], os valores de y que pertencem ao domínio vão de y=x^2 (a curva) até y=1 (a cota superior). Logo, a ordem invertida (integrando primeiro em y) é
\int_{0}^{1}\int_{x^2}^{1} dy\,dx.

Passo 6

(Facultativo, para conferir) Podemos calcular as duas integrais e verificar que dão o mesmo valor. Primeiro a original:
\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{\sqrt{y}} dx\right)dy=\int_{0}^{1}\sqrt{y}\,dy=\left[\tfrac{2}{3}y^{3/2}\right]_{0}^{1}=\tfrac{2}{3}.
Agora a invertida:
\int_{0}^{1}\left(\int_{x^2}^{1} dy\right)dx=\int_{0}^{1}(1-x^2)\,dx=\left[x-\tfrac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}=1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}.
Ambas coincidem, então a inversão está correta.

Resposta

\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{1} dy\,dx

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