Escreva a integral dupla equivalente, invertendo a ordem de integração para cada um dos problemas abaixo.
Passo 1
O enunciado pede que a gente troque a ordem de integração da integral dupla
Informações dadas:
- A integração está feita primeiro em
(de a ) e depois em (de a ). - Precisamos escrever uma integral equivalente com a ordem invertida: integrar primeiro em
e depois em .
Passo 2
Vamos entender o domínio de integração em termos de desigualdades. A integral original descreve o conjunto de pontos
tais que
e, para cada
fixo,
Isso significa que o domínio
é
Interpretação geométrica: para cada altura
entre
e
tomamos pontos
entre a vertical
e a curva
.
Passo 3
Transformamos a desigualdade
em algo que expresse
em função de
. Como
e
, ao elevar ambos os lados ao quadrado obtemos
Juntando com
, o domínio fica também descrito por
Passo 4
Agora projetamos o domínio na reta dos
para encontrar os limites externos da integral invertida. Qual é o menor e o maior
que aparecem no domínio?
- O menor
é (visto explicitamente). - O maior
ocorre quando e pode chegar até .
Portantovaria em
Passo 5
Para um
fixo em
, os valores de
que pertencem ao domínio vão de
(a curva) até
(a cota superior). Logo, a ordem invertida (integrando primeiro em
) é
Passo 6
(Facultativo, para conferir) Podemos calcular as duas integrais e verificar que dão o mesmo valor. Primeiro a original:
Agora a invertida:
Ambas coincidem, então a inversão está correta.