Calcule as integrais abaixo \iint_{B} x y d x d y, \quad B=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}-2 y \leq 0\right\}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B} x y\, dx\, dy
onde a região B é dada por
B=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}-2y\le 0\}.
Informações importantes extraídas do enunciado:
\text{(i) a expressão da região: }x^{2}+y^{2}-2y\le 0.
\text{(ii) a função a integrar: }f(x,y)=x y.
A partir daqui vamos identificar a forma geométrica de B e escolher uma mudança de variável conveniente para simplificar a integral.
Passo 2
Vamos entender a região B completando o quadrado na variável y. Reescrevo a desigualdade:
x^{2}+y^{2}-2y\le 0
x^{2}+(y^{2}-2y)\le 0
completo o quadrado em y:
y^{2}-2y=(y-1)^{2}-1,
portanto
x^{2}+(y-1)^{2}-1\le 0.
Isolando:
x^{2}+(y-1)^{2}\le 1.
Logo B é o disco de centro (0,1) e raio 1. Isso significa que é um disco simétrico em relação ao ponto (0,1).
Passo 3
Para aproveitar a simetria do disco, faço a mudança de variáveis que desloca o centro para a origem:
u = x,\qquad v = y-1.
Nessas variáveis a região passa a ser o disco unitário centrado na origem:
D=\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 1\}.
O jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y) é
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v\\[4pt] \partial y/\partial u & \partial y/\partial v \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 \end{vmatrix} =1,
ou seja dx\,dy = du\,dv.]
Passo 4
Expressamos o integrando x y em função de u,v. Como x=u e y=v+1, temos
x y = u(v+1)=u v + u.
Portanto a integral original se transforma em
\iint_{B} x y\,dx\,dy = \iint_{D} (u v + u)\, du\, dv.
Passo 5
Divido a integral em duas partes:
\iint_{D} (u v + u)\, du\, dv = \iint_{D} u v\, du\, dv + \iint_{D} u\, du\, dv.
Vou mostrar que cada uma dessas integrais vale zero por simetria (ou, se preferir, por cálculo em coordenadas polares).
Passo 6
Argumento de simetria para \iint_{D} u\,du\,dv:
Dado o disco D simétrico em relação à origem, para cada ponto (u,v)\in D existe o ponto (-u,v)\in D. A função u é ímpar em relação à reflexão u\mapsto -u, ou seja u(-u,v)=-u. Assim as contribuições de (u,v) e (-u,v) se cancelam. Portanto
\iint_{D} u\,du\,dv = 0.
Passo 7
Argumento de simetria para \iint_{D} u v\,du\,dv:
A função u v também é ímpar em relação a reflexões: por exemplo, refletindo u\mapsto -u temos u v \mapsto (-u)v = -u v. Como o domínio D é simétrico em relação a essa reflexão, as contribuições se cancelam e
\iint_{D} u v\,du\,dv = 0.
Passo 8
Para quem prefere ver explicitamente usando coordenadas polares (confirmação): em coordenadas polares (u,v)=(r\cos\theta, r\sin\theta) com 0\le r\le 1 e 0\le\theta\le 2\pi,
u = r\cos\theta,\qquad v = r\sin\theta,\qquad du\,dv = r\,dr\,d\theta.
Então
\iint_{D} u\,du\,dv = \int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi} (r\cos\theta)\, r\, d\theta\, dr = \int_{0}^{1} r^{2}\left(\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta\right) dr = 0
porque \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0. E
\iint_{D} u v\,du\,dv = \int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi} (r\cos\theta)(r\sin\theta)\, r\, d\theta\, dr = \int_{0}^{1} r^{3}\left(\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\right) dr = 0
porque \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta=0. Portanto ambos são zero.