Calcule as integrais abaixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Informações dadas:
e a função integranda é
.
A pergunta é: qual o valor numérico dessa integral dupla sobre o retângulo ?
A pergunta é: qual o valor numérico dessa integral dupla sobre o retângulo
Passo 2
Observação importante sobre a integranda: podemos escrever
logo
Ou seja, a função separa como produto de uma função que depende só de
e outra que depende só de
. Como os limites de integração formam um retângulo (produto de intervalos em
e
) e a função é contínua nesse retângulo, podemos usar a propriedade que permite separar a integral dupla em produto de integrais simples:
Breve explicação dessa propriedade: quando
e o domínio é um retângulo, a integral dupla se fatoriza em produto das integrais de
e
. Isso decorre do teorema de Fubini/Tonelli para funções contínuas — aqui é seguro aplicar porque
e
são contínuas nos respectivos intervalos.
Passo 3
Calculemos a integral em
:
Usamos a substituição
. Então
, portanto
. Quando
vem
; quando
vem
. Substituindo:
A integral de
é
, então
Comentário didático: a substituição
é natural porque a derivada de
é
, que aparece multiplicando
na integranda; essa técnica transforma a integral em uma forma imediata.
Passo 4
Calculemos a integral em
:
Note que a função
é ímpar: isto é, para todo
vale
Uma propriedade importante: a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico
é zero, porque as áreas à esquerda e à direita do zero se cancelam. Aqui o intervalo é
, simétrico, portanto
Alternativa de verificação rápida: fazer a substituição
dá termos simétricos que se cancelam, mas a observação da paridade é a forma mais direta.
Passo 5
Multiplicando os resultados obtidos para fatorizar a integral dupla:
Moral da história: mesmo tendo um fator não nulo em
, a simetria em
(função ímpar) faz com que toda a integral dupla seja zero. Isso é comum em exercícios de integrais múltiplas: sempre verifique se há separação de variáveis ou simetrias que simplificam muito o cálculo.