Calcule as integrais abaixo
\int_{-1}^{1} \int_{0}^{1} x y e^{x^{2}-y^{2}} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{-1}^{1} \int_{0}^{1} x\,y\,e^{x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy.
Informações dadas:
\text{limites em }x: 0\le x\le 1,\qquad \text{limites em }y: -1\le y\le 1,
e a função integranda é x\,y\,e^{x^{2}-y^{2}}.
A pergunta é: qual o valor numérico dessa integral dupla sobre o retângulo [0,1]\times[-1,1]?

Passo 2

Observação importante sobre a integranda: podemos escrever
e^{x^{2}-y^{2}}=e^{x^{2}}\,e^{-y^{2}},
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x\,y\,e^{x^{2}-y^{2}}=(x\,e^{x^{2}})\cdot(y\,e^{-y^{2}}).
Ou seja, a função separa como produto de uma função que depende só de x e outra que depende só de y. Como os limites de integração formam um retângulo (produto de intervalos em x e y) e a função é contínua nesse retângulo, podemos usar a propriedade que permite separar a integral dupla em produto de integrais simples:
\int_{-1}^{1}\int_{0}^{1} (x\,e^{x^{2}})(y\,e^{-y^{2}})\,dx\,dy = \left(\int_{0}^{1} x\,e^{x^{2}}\,dx\right)\cdot\left(\int_{-1}^{1} y\,e^{-y^{2}}\,dy\right).
Breve explicação dessa propriedade: quando f(x,y)=g(x)h(y) e o domínio é um retângulo, a integral dupla se fatoriza em produto das integrais de g e h. Isso decorre do teorema de Fubini/Tonelli para funções contínuas — aqui é seguro aplicar porque g e h são contínuas nos respectivos intervalos.

Passo 3

Calculemos a integral em x:
I_x=\int_{0}^{1} x\,e^{x^{2}}\,dx.
Usamos a substituição u=x^{2}. Então du=2x\,dx, portanto x\,dx=\dfrac{du}{2}. Quando x=0 vem u=0; quando x=1 vem u=1. Substituindo:
I_x=\int_{u=0}^{1} e^{u}\,\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{u}\,du.
A integral de e^{u} é e^{u}, então
I_x=\frac{1}{2}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1}=\frac{1}{2}\bigl(e^{1}-e^{0}\bigr)=\frac{1}{2}(e-1).
Comentário didático: a substituição u=x^{2} é natural porque a derivada de x^{2} é 2x, que aparece multiplicando dx na integranda; essa técnica transforma a integral em uma forma imediata.

Passo 4

Calculemos a integral em y:
I_y=\int_{-1}^{1} y\,e^{-y^{2}}\,dy.
Note que a função y\,e^{-y^{2}} é ímpar: isto é, para todo y vale
(-y)\,e^{-(-y)^{2}} = -y\,e^{-y^{2}}.
Uma propriedade importante: a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico [-a,a] é zero, porque as áreas à esquerda e à direita do zero se cancelam. Aqui o intervalo é [-1,1], simétrico, portanto
I_y=0.
Alternativa de verificação rápida: fazer a substituição v=y^{2} dá termos simétricos que se cancelam, mas a observação da paridade é a forma mais direta.

Passo 5

Multiplicando os resultados obtidos para fatorizar a integral dupla:
\int_{-1}^{1}\int_{0}^{1} x\,y\,e^{x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy = I_x\cdot I_y = \frac{1}{2}(e-1)\cdot 0 = 0.
Moral da história: mesmo tendo um fator não nulo em x, a simetria em y (função ímpar) faz com que toda a integral dupla seja zero. Isso é comum em exercícios de integrais múltiplas: sempre verifique se há separação de variáveis ou simetrias que simplificam muito o cálculo.

Resposta

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