Escreva a(s) integral(is) dupla(s) que permite(m) calcular a área da menor região delimitada pelas curvas x^2+y^2=20 e y=x^2, usando:
© coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado pede a área da menor região limitada pelas curvas x²+y²=20 e y=x², escrevendo a integral em coordenadas polares. Vamos precisar converter as duas curvas para polares, achar os ângulos de interseção e montar a integral com elemento de área r
dr
dθ.

Passo 2

Em coordenadas polares usamos x=r
cosθ e y=r
sinθ. A curva x²+y²=20 vira r=√20. A curva y=x² fica r
sinθ=(r
cosθ)², e para r≠0:
r=\frac{\sinθ}{\cos²θ}=\tanθ\secθ.

Passo 3

Para achar os ângulos de interseção θ₁ e θ₂, igualamos as duas expressões de r:
\frac{\sinθ}{\cos²θ}=\sqrt{20}
Isso leva a sinθ=√20(1−sin²θ). Seja u=sinθ, temos √20
u²+u−√20=0. A solução em [0,π] é u=2/√5, ou seja θ₁=arcsin(2/√5). Como sinθ é positivo, há duas soluções simétricas:
θ₁=\arcsin\bigl(2/\sqrt5\bigr)=\arctan(2), θ₂=π−θ₁=π−\arctan(2).

Passo 4

Logo, a região R em polares é { (r,θ): θ₁≤θ≤θ₂, r_parabola(θ)≤r≤√20 }.
A integral que dá a área A é portanto:
A=\int_{θ₁}{θ₂}\int_{r=\frac{\sinθ}{\cos²θ}}{r=\sqrt{20}} r,dr,dθ

Passo 5

Opcionalmente, usando a simetria em torno do eixo y, podemos escrever:
A=2\int_{θ₁}{π/2}\int_{\frac{\sinθ}{\cos²θ}}{\sqrt{20}}r,dr,dθ

Resposta

Com θ₁=\arctan(2) e θ₂=π−\arctan(2),
A=integralθ₁^θ₂integralsinθcos²θ^raiz20r,dr,dθ ²

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