Nos exercícios 7-14, encontre a solução geral das EDO.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem: $ y’’ + y = 2 e^{x} + x^{2} $. Isso significa que precisamos achar todas as possíveis funções $ y(x) $ que satisfazem essa equação. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para o lado direito da equação. No final, juntamos essas soluções para obter a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é $ y’’ + y = 0 $. Essa equação é mais simples porque o lado direito é zero. Para resolver, buscamos soluções da forma $ y = e^{rx} $. Substituindo na equação homogênea:
Como $ e^{rx} $ nunca é zero, temos $ r^2 + 1 = 0 $. Resolvendo para $ r $:
Isso nos dá duas soluções complexas: $ y_1 = \cos(x) $ e $ y_2 = \sin(x) $. Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular ($ y_p $) para a equação completa $ y’’ + y = 2 e^{x} + x^{2} $. Vamos dividir isso em duas partes: uma para $ 2 e^{x} $ e outra para $ x^{2} $.
Parte 1: Para $ 2 e^{x} $
Procuramos uma solução na forma $ y_{p1} = A e^{x} $, onde $ A $ é uma constante a ser determinada. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Então, $ y_{p1} = e^{x} $.
Parte 2: Para $ x^{2} $
Procuramos uma solução na forma de um polinômio. Vamos tentar $ y_{p2} = B x^{2} + C x + D $, onde $ B $, $ C $ e $ D $ são constantes. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Comparando os coeficientes:
Então, $ y_{p2} = x^{2} - 2 $.
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.