Nos exercícios 7-14, encontre a solução geral das EDO.
y^prime prime-4 y^prime+5 y=2 e^x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO y'' - 4y' + 5y = 2e^x, que é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Para resolver, vamos encontrar primeiro a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea, fazemos a substituição padrão y = e^rx, o que leva à equação característica
r^2 - 4r + 5 = 0

Passo 3

Resolvendo essa equação, temos
r = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 1 cdot 52 = 2 pm i
Então a solução da homogênea é
yh(x) = e^2xl(C1cos x + C2sin xr)

Passo 4

Para encontrar uma solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados, vemos que o termo não homogêneo é 2e^x e que r=1 não é raiz da característica. Assim, assumimos
yp(x) = A e^x

Passo 5

Calculamos as derivadas e substituímos na EDO:
yp'(x) = A e^x,
yp''(x) = A e^x,
yp'' - 4yp' + 5yp = A e^x - 4A e^x + 5A e^x = (1 - 4 + 5)A e^x = 2A e^x

Passo 6

Igualando a 2A e^x ao termo forçante 2e^x, obtemos 2A = 2, logo A = 1.

Passo 7

A solução geral da EDO é a soma de yh com yp.

Resposta

y(x) = e^2xl(C1cos x + C2sin xr) + e^x

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