Nos exercícios 15-20, resolva os PVI:
ly^prime prime-6 y^prime+10 y=0 y(0)=1 y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau: $ y’’ - 6y’ + 10y = 0 $, com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 1 $. Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos achar a equação característica dessa equação diferencial. A equação característica ajuda a encontrar soluções para a equação diferencial homogênea. Substituímos $ y’’ $ por $ r^2 $, $ y’ $ por $ r $ e $ y $ por 1. Então, a equação fica:
y''

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Usaremos a fórmula de Bhaskara:
r
Como o discriminante é negativo ($ \sqrt{-4} $), temos raízes complexas:
r = 6 pm raiz(-6)^2 - 4 cdot 1 cdot 102 cdot 1 = 6 pm raiz36 - 402 = 6 pm raiz-42

Passo 4

Com as raízes $ r = 3 \pm i $, a solução geral da equação diferencial é:
r = 3 pm i
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial: $ y(0) = 1 $. Substituindo $ t = 0 $ na solução geral:
y(0) = 1

Passo 6

Agora, vamos aplicar a segunda condição inicial: $ y’(0) = 1 $. Primeiro, precisamos achar a derivada de $ y(t) $:
y'(0) = 1
Simplificando:
y(t)
Substituindo $ t = 0 $ e $ C_1 = 1 $:
y'(t) = 3e^3t ( cos(t) ) + e^3t ( -C1 sin(t) + C2 cos(t) )

Resposta

Com $ C_1 = 1 $ e $ C_2 = -2 $, a solução particular do problema é:
C1 = 1

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