Nos exercícios
, resolva os PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau: $ y’’ - 6y’ + 10y = 0 $, com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 1 $. Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos achar a equação característica dessa equação diferencial. A equação característica ajuda a encontrar soluções para a equação diferencial homogênea. Substituímos $ y’’ $ por $ r^2 $, $ y’ $ por $ r $ e $ y $ por 1. Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Usaremos a fórmula de Bhaskara:
Como o discriminante é negativo ($ \sqrt{-4} $), temos raízes complexas:
Passo 4
Com as raízes $ r = 3 \pm i $, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial: $ y(0) = 1 $. Substituindo $ t = 0 $ na solução geral:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a segunda condição inicial: $ y’(0) = 1 $. Primeiro, precisamos achar a derivada de $ y(t) $:
Simplificando:
Substituindo $ t = 0 $ e $ C_1 = 1 $:
Resposta
Com $ C_1 = 1 $ e $ C_2 = -2 $, a solução particular do problema é: