Escreva a integral em termos de u e du. Depois calcule.
integral x raiz4 x-1 d x u=4 x-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x raiz4x-1,dx
usando a substituição u=4x-1. O conteúdo aqui é integração por substituição, em que vamos reescrever tudo em termos de u e du.

Passo 2

Primeiro, derivamos u para achar du e expressar x em função de u:
u = 4x-1 Longrightarrow du = 4,dx Longrightarrow dx = du4
Também isolamos x:
x = u+14

Passo 3

Agora substituímos na integral:
integral x raiz4x-1,dx = integral u+14;cdot u^1/2;cdot du4 = 116integral (u+1),u^1/2,du = 116integrall(u^3/2+u^1/2r),du

Passo 4

Integramos termo a termo:
116integral u^3/2,du = 116cdot u^5/25/2 = 116cdot 25u^5/2 = 140u^5/2,
116integral u^1/2,du = 116cdot u^3/23/2 = 116cdot 23u^3/2 = 124u^3/2
Somando e adicionando a constante C, obtemos
140u^5/2 + 124u^3/2 + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x usando u=4x-1:
140(4x-1)^5/2 + 124(4x-1)^3/2 + C

Resposta

integral x raiz4x-1,dx = 140(4x-1)^5/2 + 124(4x-1)^3/2 + C

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