Use o método de integração por partes para determinar as seguintes integrais
integral s^3 e^-s d s

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral s^3e^-s,ds
usando o método de integração por partes, que se baseia na fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

Escolhemos
u = s^3, dv = e^-s,ds
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du = 3s^2,ds, v = integral e^-s,ds = -e^-s
Aplicando a fórmula:
integral s^3e^-s,ds = u,v - integral v,du = -s^3e^-s - integrall(-e^-sr),3s^2,ds = -s^3e^-s + 3integral s^2e^-s,ds

Passo 3

Agora precisamos de integral s^2e^-s,ds. Repetimos partes com
u = s^2, dv = e^-s,ds
Então
du = 2s,ds, v = -e^-s,
e
integral s^2e^-s,ds = -s^2e^-s - integrall(-e^-sr),2s,ds = -s^2e^-s + 2integral s,e^-s,ds

Passo 4

Falta calcular integral s,e^-s,ds. Outra vez partes:
u = s, dv = e^-s,ds
du = ds, v = -e^-s,
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integral s,e^-s,ds = -s,e^-s - integrall(-e^-sr),1,ds = -s,e^-s + integral e^-s,ds = -s,e^-s - e^-s = -(s+1)e^-s

Passo 5

Voltando à integral s^2e^-s,ds:
integral s^2e^-s,ds = -s^2e^-s + 2l[-(s+1)e^-sr] = -l(s^2+2s+2r)e^-s
Então na expressão inicial:
integral s^3e^-s,ds = -s^3e^-s + 3l[-(s^2+2s+2)e^-sr] = -l(s^3+3s^2+6s+6r)e^-s + C

Resposta

boxedintegral s^3e^-s,ds = -l(s^3+3s^2+6s+6r)e^-s + C

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