Determine as transformadas inversas de Laplace, como funções de x, das seguintes funções:
12(s-1)(s^2-s-1)=1 / 2(s-1)(s^2-s-1)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
12,(s-1)l(s^2-s-1r)
como função de x. O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais seguida pelo uso de tabelas de transformadas inversas, já que cada termo da forma 1s-a reverte para e^a x.

Passo 2

Primeiro vamos fatorar o polinômio quadrático do denominador:
s^2-s-1=0 Longrightarrow s=1pmraiz1+42 =1pmraiz52
Chamemos
a=1+raiz52, b=1-raiz52,
de modo que
s^2-s-1=(s-a)(s-b)
Assim nossa função é
12(s-1)(s-a)(s-b)

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais:
12(s-1)(s-a)(s-b) =As-1+Bs-a+Cs-b
Multiplicando ambos os lados por 2(s-1)(s-a)(s-b), obtemos
1 =2A,(s-a)(s-b)+2B,(s-1)(s-b)+2C,(s-1)(s-a)

Passo 4

Usamos o “método dos cover-ups” para achar A,B,C:
  1. Em s=1:
    1=2A,(1-a)(1-b),
    mas (1-a)(1-b)=ab=-1. Logo
    1=2Acdot(-1) Longrightarrow A=-tfrac12
  2. Em s=a:
    1=2B,(a-1)(a-b),
    onde a-1=tfracraiz5-12 e a-b=raiz5, então (a-1)(a-b)=tfrac5-raiz52. Logo
    1=2Bcdot5-raiz52 Longrightarrow B=15-raiz5=5+raiz520
  3. Em s=b:
    1=2C,(b-1)(b-a),
    com (b-1)(b-a)=tfrac5+raiz52. Logo
    1=2Ccdot5+raiz52 Longrightarrow C=15+raiz5=5-raiz520

Passo 5

Reescrevendo, temos
12(s-1)(s^2-s-1) =-12,1s-1 +5+raiz520,1s-a +5-raiz520,1s-b
Aplicando a transformada inversa ( L^-1[tfrac1s-alpha]=e^alpha x), obtemos
f(x) =-12,e^1cdot x +5+raiz520,e^a x +5-raiz520,e^b x

Resposta

f(x) =-12,e^x +5+raiz520,e^1+raiz52,x +5-raiz520,e^1-raiz52,x

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