Escreva a integral em termos de u e du. Depois calcule.
integral x^2 raizx+1 d x, u=x+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral por substituição. Temos
integral x^2raizx+1,dx,
e a substituição proposta é u = x+1. Assim, vamos reescrever a integral em termos de u e du.

Passo 2

Da substituição u = x+1 segue
x = u - 1 e du = dx
Portanto
x^2raizx+1,dx = (u - 1)^2raizu,du

Passo 3

Expandindo e escrevendo em potências de u, temos
(u-1)^2raizu = (u^2 - 2u + 1),u^1/2 = u^5/2 - 2u^3/2 + u^1/2
Logo a integral vira
integral (u^5/2 - 2u^3/2 + u^1/2),du

Passo 4

Agora integramos termo a termo usando a regra da potência integral u^ndu = tfracu^n+1n+1:
integral u^5/2du = u^7/2tfrac72 = 27u^7/2,
integral -2u^3/2du = -2cdotu^5/2tfrac52 = -45u^5/2,
integral u^1/2du = u^3/2tfrac32 = 23u^3/2
Somando os resultados, obtemos
27u^7/2 - 45u^5/2 + 23u^3/2 + C

Passo 5

Finalmente, voltamos à variável original com u = x+1:
27(x+1)^7/2 ;-;45(x+1)^5/2;+;23(x+1)^3/2 + C

Resposta

integral x^2raizx+1,dx = 27(x+1)^7/2 - 45(x+1)^5/2 + 23(x+1)^3/2 + C

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