Use o método de integração por partes para determinar as seguintes integrais
integral(ln (t))^2 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral (ln t)^2 ,dt
usando o método de integração por partes. Vamos precisar da fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du,
além de saber derivar ln t e integrar 1.

Passo 2

Escolhemos
u = (ln t)^2, dv = dt
Então
du = ddt(ln t)^2,dt = 2,ln t;1t,dt = 2ln tt,dt, v = integral dv = integral 1,dt = t

Passo 3

Aplicando integração por partes:
integral (ln t)^2,dt = u,v - integral v,du = t(ln t)^2 - integral tcdot 2ln tt,dt = t(ln t)^2 - 2integral ln t,dt

Passo 4

Agora calculamos
integral ln t,dt
por partes, com
u = ln t, dv = dt
para obter
du = 1t,dt, v = t
e assim
integral ln t,dt = tln t - integral tcdot1t,dt = tln t - integral 1,dt = tln t - t

Passo 5

Substituindo em
integral (ln t)^2,dt = t(ln t)^2 - 2integral ln t,dt
vem
integral (ln t)^2,dt = t(ln t)^2 - 2l(tln t - tr) + C = t(ln t)^2 - 2tln t + 2t + C

Resposta

boxedintegral (ln t)^2,dt = t(ln t)^2 - 2tln t + 2t + C

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