Escreva uma integral tripla iterada para a integral de f(x, y, z)=6+4 sobre a região no primeiro octante limitada pelo cone z=raizx^2+y^2, o cilindro x^2+y^2=1, e os planos de coordenadas em coordenadas retangulares.

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla de f(x,y,z)=6+4 sobre a região D no primeiro octante limitada pelo cone z=√(x²+y²), pelo cilindro x²+y²=1 e pelos planos coordenados. O conteúdo aqui é integral tripla em coordenadas retangulares, e vamos precisar encontrar as desigualdades que definem D.

Passo 2

Primeiro projetamos D no plano xy. Como estamos dentro do cilindro x²+y²=1 e em x≥0, y≥0, obtemos 0 ≤ x ≤ 1 e, para cada x fixo, 0 ≤ y ≤ √(1−x²).

Passo 3

Para cada ponto (x,y) nessa projeção, z varia entre o plano z=0 (plano coordenado) e a superfície do cone z=√(x²+y²). Logo, 0 ≤ z ≤ √(x²+y²).

Passo 4

Com os limites definidos, montamos a integral iterada em retangulares trocando o integrando f(x,y,z)=6+4 por 10:

Resposta

integralx=0^1 integraly=0^raiz1-x^2 integralz=0^raizx^2+y^2 (6+4) ,dz,dy,dx

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