Calcule as integrais:
integral 1x^3-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de $ \frac{1}{x^{3}-1} , dx $. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo técnicas de frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e então decompor a fração em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador $ x^{3} - 1 $. Sabemos que $ x^{3} - 1 $ é uma diferença de cubos, e a fórmula para fatorar uma diferença de cubos é:
x^3 - 1
No nosso caso, $ a = 1 $, então:
x^3 - 1

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, podemos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. Ou seja:
1x^3 - 1 = Ax - 1 + Bx + Cx^2 + x + 1
Aqui, $ A $, $ B $ e $ C $ são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar $ A $, $ B $ e $ C $, vamos multiplicar ambos os lados da equação por $ x^{3} - 1 $ para eliminar os denominadores:
A
Agora, expandimos os termos do lado direito:
B
Agrupando os termos semelhantes:
C

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para $ x^{2} $:
x^2
Para $ x $:
A + B = 0
Para o termo constante:
x

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. $ A + B = 0 $ ⇒ $ B = -A $
  2. Substituindo $ B = -A $ na segunda equação:
A + B = 0
  1. Substituindo $ C = -2A $ na terceira equação:
B = -A
Então:
B = -A

Passo 7

Com os valores de $ A $, $ B $ e $ C $ encontrados, podemos reescrever a decomposição em frações parciais:
A
Para facilitar a integração, vamos simplificar:
B

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x^3 - 1 , dx = 13 integral 1x - 1 , dx - 13 integral x + 2x^2 + x + 1 , dx
Primeiro, a integral de $ \frac{1}{x - 1} $ é direta:
1x - 1

Passo 9

Agora, vamos integrar $ \frac{x + 2}{x^{2} + x + 1} $. Para isso, vamos completar o quadrado no denominador:
x + 2x^2 + x + 1
Então, a integral fica:
x^2 + x + 1 = (x^2 + x + 14) + 34 = (x + 12)^2 + 34
Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Seja $ u = x + \frac{1}{2} $, então $ du = dx $. A integral vira:
integral x + 2(x + 12)^2 + 34 , dx

Passo 10

Agora, a integral pode ser separada em duas partes:
integral uu^2 + 34 , du + 32 integral 1u^2 + 34 , du
A primeira parte é uma integral padrão que resulta em um logaritmo, e a segunda é uma integral que envolve a função arco-tangente.
Calculando cada parte:
  1. integral uu^2 + 34 , du = 12 ln|u^2 + 34|
  2. 32 integral 1u^2 + 34 , du = 32 cdot 2raiz3 tan^-1(2uraiz3) = raiz3 tan^-1(2uraiz3)
Substituindo $ u = x + \frac{1}{2} $:
u = x + 12

Resposta

Juntando todas as partes, a integral fica:
integral 1x^3 - 1 , dx = 13 ln|x - 1| - 16 ln(x^2 + x + 1) - raiz33 tan^-1(2x + 1raiz3) + C
onde $ C $ é a constante de integração.

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