Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de $ \frac{1}{x^{3}-1} , dx $. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo técnicas de frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e então decompor a fração em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador $ x^{3} - 1 $. Sabemos que $ x^{3} - 1 $ é uma diferença de cubos, e a fórmula para fatorar uma diferença de cubos é:
No nosso caso, $ a = 1 $, então:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, podemos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. Ou seja:
Aqui, $ A $, $ B $ e $ C $ são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar $ A $, $ B $ e $ C $, vamos multiplicar ambos os lados da equação por $ x^{3} - 1 $ para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos os termos do lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para $ x^{2} $:
Para $ x $:
Para o termo constante:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações:
-
$ A + B = 0 $ ⇒ $ B = -A $
-
Substituindo $ B = -A $ na segunda equação:
- Substituindo $ C = -2A $ na terceira equação:
Então:
Passo 7
Com os valores de $ A $, $ B $ e $ C $ encontrados, podemos reescrever a decomposição em frações parciais:
Para facilitar a integração, vamos simplificar:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Primeiro, a integral de $ \frac{1}{x - 1} $ é direta:
Passo 9
Agora, vamos integrar $ \frac{x + 2}{x^{2} + x + 1} $. Para isso, vamos completar o quadrado no denominador:
Então, a integral fica:
Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Seja $ u = x + \frac{1}{2} $, então $ du = dx $. A integral vira:
Passo 10
Agora, a integral pode ser separada em duas partes:
A primeira parte é uma integral padrão que resulta em um logaritmo, e a segunda é uma integral que envolve a função arco-tangente.
Calculando cada parte:
-
-
32 integral 1u^2 + 34 , du = 32 cdot 2raiz3 tan^-1(2uraiz3) = raiz3 tan^-1(2uraiz3)
Substituindo $ u = x + \frac{1}{2} $:
Resposta
Juntando todas as partes, a integral fica:
onde $ C $ é a constante de integração.