Use coordenadas esféricas para calcular a integral tripla
\iiint_{D} z^{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d V
onde a região D é dada por:
\int_{x=-2}^{2} \int_{y=-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} \int_{z=0}^{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}} z^{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d z d y d x
Isto é, D é o hemisfério superior da esfera de raio 2 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{D} z^{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\, dV
onde a região D é o hemisfério superior da esfera de raio 2. Informações dadas:
  • A região D é descrita por x variando de -2 a 2, y variando de -\sqrt{4-x^{2}} a \sqrt{4-x^{2}} e z variando de 0 a \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}; isto é, o conjunto de pontos com x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4 e z\ge 0.
  • A função a integrar é z^{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
    O objetivo final é obter o valor numérico desta integral sobre todo o hemisfério superior de raio 2.

Passo 2

Vamos descrever as coordenadas esféricas e os significados das variáveis (aqui ensino o que é cada coisa):
  • Em coordenadas esféricas usa-se \rho para a distância do ponto à origem, \varphi para o ângulo entre o raio vetor e o eixo z (ou seja, o colatitude) e \theta para o ângulo no plano xy (a longitude).
  • As relações entre cartesianas e esféricas são:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
Aqui:
  • \rho\ge 0 é a distância ao centro;
  • 0\le \varphi\le \pi é o ângulo medido a partir do eixo z (quando \varphi=0 estamos no polo norte, quando \varphi=\pi/2 estamos no plano xy);
  • 0\le \theta<2\pi é o ângulo no plano xy.
  • O elemento de volume em esféricas (Jacobiano da transformação) é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Explicando por que: uma pequena variação \Delta\rho alonga radialmente, \Delta\varphi gera uma distância aproximada \rho\Delta\varphi na direção colatitude e \Delta\theta gera \rho\sin\varphi\Delta\theta na direção azimutal; multiplicando esses comprimentos obtém-se \rho^{2}\sin\varphi\,\Delta\rho\,\Delta\varphi\,\Delta\theta, que no limite vira o fator acima.

Passo 3

Substituímos a função e o elemento de volume em esféricas:
  • Note que z=\rho\cos\varphi.
  • Note também que \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\rho.
    Portanto a integranda fica
z^{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=(\rho\cos\varphi)^{2}\cdot \rho=\rho^{3}\cos^{2}\varphi.
Multiplicando pelo elemento de volume \rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta obtemos a integral em esféricas com integrando
\rho^{3}\cos^{2}\varphi\cdot \rho^{2}\sin\varphi=\rho^{5}\cos^{2}\varphi\sin\varphi.

Passo 4

Definimos os limites de integração correspondentes ao hemisfério superior de raio 2:
  • Como é todo o contorno em \theta, temos 0\le \theta\le 2\pi.
  • O hemisfério superior corresponde a z\ge 0, ou seja \varphi vai de 0 (eixo +z) até \pi/2 (plano xy): 0\le \varphi\le \pi/2.
  • A distância radial \rho vai do centro até a superfície da esfera de raio 2: 0\le \rho\le 2.
    Assim a integral vira
\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/2}\int_{\rho=0}^{2} \rho^{5}\cos^{2}\varphi\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Como o integrando se separa em função de \rho vezes função de \varphi (e \theta é independente), podemos separar as integrais:
\left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\left(\int_{0}^{\pi/2} \cos^{2}\varphi\sin\varphi\, d\varphi\right)\left(\int_{0}^{2}\rho^{5}\, d\rho\right).

Passo 5

Calculo da integral em \rho:
\int_{0}^{2}\rho^{5}\, d\rho=\left[\frac{\rho^{6}}{6}\right]_{0}^{2}=\frac{2^{6}}{6}=\frac{64}{6}=\frac{32}{3}.
Expliquei: antiderivada de \rho^{5} é \rho^{6}/6, avaliada entre 0 e 2.

Passo 6

Calculo da integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\varphi\sin\varphi\, d\varphi.
Faço a substituição u=\cos\varphi. Então du=-\sin\varphi\, d\varphi. Quando \varphi=0 temos u=\cos 0=1; quando \varphi=\pi/2 temos u=\cos(\pi/2)=0. A integral torna-se
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\varphi\sin\varphi\, d\varphi=-\int_{u=1}^{0} u^{2}\, du=\int_{0}^{1} u^{2}\, du=\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}.
Explicando: substituir simplifica porque \cos^{2}\varphi\sin\varphi\, d\varphi vira u^{2}(-du), e trocar os limites resolve o sinal.

Passo 7

Calculo da integral em \theta e combinação final:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Multiplicando os três resultados:
2\pi\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{32}{3} = 2\pi\cdot \frac{32}{9}=\frac{64\pi}{9}.

Passo 8

Resumo didático final: usando a substituição para esféricas transformamos a integral original para uma integral separável em \rho,\varphi,\theta. Cada peça foi integrada de forma simples: potência de \rho, uma substituição para \varphi e a integral trivial em \theta. O valor obtido é \dfrac{64\pi}{9}. Força aí na prova — repetindo esse procedimento algumas vezes fica natural!

Resposta

\dfrac{64\pi}{9}

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