Use coordenadas esféricas para calcular a integral tripla
onde a região
é dada por:
Isto é,
é o hemisfério superior da esfera de raio 2 .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde a região
é o hemisfério superior da esfera de raio
. Informações dadas:
- A região
é descrita por variando de a , variando de a e variando de a ; isto é, o conjunto de pontos com e . - A função a integrar é
.
O objetivo final é obter o valor numérico desta integral sobre todo o hemisfério superior de raio.
Passo 2
Vamos descrever as coordenadas esféricas e os significados das variáveis (aqui ensino o que é cada coisa):
- Em coordenadas esféricas usa-se
para a distância do ponto à origem, para o ângulo entre o raio vetor e o eixo (ou seja, o colatitude) e para o ângulo no plano (a longitude). - As relações entre cartesianas e esféricas são:
Aqui:
-
é a distância ao centro; -
é o ângulo medido a partir do eixo (quando estamos no polo norte, quando estamos no plano ); -
é o ângulo no plano . - O elemento de volume em esféricas (Jacobiano da transformação) é
Explicando por que: uma pequena variação
alonga radialmente,
gera uma distância aproximada
na direção colatitude e
gera
na direção azimutal; multiplicando esses comprimentos obtém-se
, que no limite vira o fator acima.
Passo 3
Substituímos a função e o elemento de volume em esféricas:
- Note que
. - Note também que
.
Portanto a integranda fica
Multiplicando pelo elemento de volume
obtemos a integral em esféricas com integrando
Passo 4
Definimos os limites de integração correspondentes ao hemisfério superior de raio
:
- Como é todo o contorno em
, temos . - O hemisfério superior corresponde a
, ou seja vai de (eixo ) até (plano ): . - A distância radial
vai do centro até a superfície da esfera de raio : .
Assim a integral vira
Como o integrando se separa em função de
vezes função de
(e
é independente), podemos separar as integrais:
Passo 5
Calculo da integral em
:
Expliquei: antiderivada de
é
, avaliada entre
e
.
Passo 6
Calculo da integral em
:
Faço a substituição
. Então
. Quando
temos
; quando
temos
. A integral torna-se
Explicando: substituir simplifica porque
vira
, e trocar os limites resolve o sinal.
Passo 7
Calculo da integral em
e combinação final:
Multiplicando os três resultados:
Passo 8
Resumo didático final: usando a substituição para esféricas transformamos a integral original para uma integral separável em
. Cada peça foi integrada de forma simples: potência de
, uma substituição para
e a integral trivial em
. O valor obtido é
. Força aí na prova — repetindo esse procedimento algumas vezes fica natural!