Escreva a Lei de Fick para o fluxo de massa difusivo. Quando esta lei é válida? 0 coeficiente de difusão de Fick é função de qual(is) variável(eis)?
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
- Escrever a Lei de Fick para o fluxo de massa difusivo.
- Dizer quando essa lei é válida (quais hipóteses/condições precisam valer).
- Dizer de quais variável(eis) o coeficiente de difusão de Fick depende.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado):
- Queremos a forma para o fluxo de massa (não apenas molar), ou seja, cuidado com as grandezas (massa, fração mássica, densidade).
- É esperado que eu explique o que cada símbolo representa e as limitações da lei.
Passo 2
Definições importantes (para não confundir na hora da fórmula):
- Massa específica (densidade):
(unidade típica ). - Fração mássica da espécie
: (adimensional, massa da espécie dividido pela massa da mistura). - Concentração molar da espécie
: (unidade ). - Fluxo de massa (espécie
) relativo à velocidade média da mistura: (unidade ). Esse é o que normalmente chamamos de “fluxo de massa difusivo”. - Fluxo molar (espécie
): (unidade ).
Por que faço essa distinção? Porque a Lei de Fick tem formas análogas dependendo se você usa concentração molar (
) ou fração mássica (
). É importante usar a forma correta no exame.
Passo 3
Escrevendo a Lei de Fick na forma mais direta (forma para concentração molar):
Explicando cada termo:
-
é o fluxo molar difusivo da espécie (mol m s ). -
é o coeficiente de difusão (m s ). -
é o gradiente espacial da concentração molar (mol m ).
Agora a forma usada com frequência para fluxo de massa relativo à mistura (útil em problemas de transporte de massa em fluidos):
Explicando:
-
é o fluxo de massa difusivo da espécie (kg m s ). -
é a densidade da mistura (kg m ). -
é, novamente, o coeficiente de difusão (m s ). -
é o gradiente da fração mássica (m ).
Observação prática: se a densidade
varia pouco ou se você trabalha com concentrações molares, use a primeira forma; se seu balanço é em massa e você usa frações mássicas, use a segunda.
Passo 4
Como a Lei de Fick aparece em problemas de difusão no tempo (conexão com a equação de difusão):
- Equação de continuidade (sem fontes químicas, só difusão):
- Substituindo
obtemos (forma geral):
- Se
é constante (independente de posição e concentração), simplifica para a clássica equação de difusão:
Isso mostra a ligação entre a Lei de Fick (relação local fluxo–gradiente) e a evolução temporal da concentração.
Passo 5
Quando a Lei de Fick é válida? (Explique passo a passo)
- É uma relação fenomelógica linear (fluxo proporcional ao gradiente). Logo ela é uma aproximação válida quando estamos próximos do equilíbrio local — isto é, quando os gradientes não são enormes e a resposta do sistema é aproximadamente linear.
- Requisitos práticos:
- Escala contínua: comprimento característico do problema muito maior que a escala molecular (continuum válido).
- Sistema isotrópico e homogêneo localmente (ou, se anisotrópico, o coeficiente deve ser tratado como tensor).
- Para a forma simples
com constante: temperatura e pressão aproximadamente constantes (isotérmico e sem fortes variações que afetem ). - Misturas diluídas (binárias) são o caso mais simples — em misturas multicomponentes aparecem acoplamentos, e a relação fica mais complicada (necessita de coeficientes multicomponentes ou formulação em termos de potenciais químicos).
- Ausência de transporte convectivo dominante. Se houver convecção (movimento do fluido), o transporte convectivo deve ser somado ao difusivo; Fick sozinho não descreve o transporte total.
- Não considerar efeitos termo-difusivos (efeito Soret) ou difusão induzida por gradientes de campo químico sem correção — nesses casos a lei precisa ser generalizada para gradiente de potencial químico.
- Em resumo: serve muito bem para problemas de difusão lenta, isoterma, binária e em escala macroscópica; fora disso, use generalizações (coeficientes dependentes de concentração, tensor de difusão, ou expressão em termos do gradiente do potencial químico).
Passo 6
De que depende o coeficiente de difusão
? (resposta detalhada)
- Temperatura (
): é a variável que mais afeta . Em geral aumenta com . Para gases, uma dependência típica da teoria de Chapman–Enskog é aproximadamente
onde
é pressão e
massa molar característica; para líquidos a dependência costuma ser complexa, às vezes de Arrhenius tipo.
- Pressão (
): em gases ideais a dependência é (aumento de pressão diminui ); em líquidos a pressão tem efeito pequeno, mas pode ser relevante em condições extremas. - Concentração / composição: em soluções concentradas
pode depender fortemente da concentração da espécie (ex.: difusão em polímeros, soluções não ideais). Portanto é comum. - Natureza do meio: em meios porosos ou heterogêneos aparece um
que inclui porosidade e tortuosidade , normalmente . - Propriedades moleculares: tamanho molecular, massa, interações intermoleculares e viscosidade do solvente influenciam
. - Anisotropia: em cristais ou meios anisótropos,
é um tensor , não um escalar. - Em resumo:
é função de e das características moleculares. Em casos simples você pode tratar como constante; em casos reais é comum ter .
Passo 7
Unidades, ordens de grandeza e dicas para prova
- Unidade de
: . - Ordens de grandeza típicas:
- Gases:
a . - Líquidos:
a . - Sólidos (difusão atômica): muito menores, depende fortemente da temperatura.
- Gases:
- Dicas práticas:
- Sempre cheque se o enunciado pede fluxo molar (
) ou fluxo de massa ( ). Converta com ou usando fração mássica . - Se tiver variação temporal e
constante, use . Se , terá que trabalhar com . - Se houver convecção, escreva o termo convectivo e some ao termo difusivo: transporte total
convecção difusão.
- Sempre cheque se o enunciado pede fluxo molar (
Resposta
Válida quando a resposta é linear perto do equilíbrio local: meio contínuo (escala macroscópica), gradientes não muito grandes, sistema isotrópico ou tratado com tensor, caso simples binário/isotérmico sem acoplamentos fortes; se