Escreva a matriz das formas bilineares simétricas que dão origem às formas quadráticas abaixo:
q(x1, x2, x3)=x1^2+x2^2+x3^2-2 x1 x2+4 x1 x3-x2 x3

Passo 1

O enunciado pede a matriz A da forma bilinear simétrica B em R^3 que gera a forma quadrática
q(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2-2 x1x2+4 x1x3-x2x3
Sabemos que, para uma forma quadrática q(x)=x^TAx com A simétrica, os elementos diagonais aii são os coeficientes de xi^2 e os elementos fora da diagonal aij=aji são metade dos coeficientes de xixj.

Passo 2

Identificamos os coeficientes em q:
  • Coeficientes dos termos quadrados: a11=1, a22=1, a33=1
  • Coeficientes dos termos mistos: x1x2:,-2;Longrightarrow;a12=a21=-1,
x1x3:;4;Longrightarrow;a13=a31=2,
x2x3:;-1;Longrightarrow;a23=a32=-tfrac12

Passo 3

Montamos a matriz simétrica A=(aij) usando os valores encontrados:

Resposta

A = 1 & -1 & 2 -1 & 1 & -tfrac12 2 & -tfrac12 & 1

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