Escreva a matriz das formas bilineares simétricas que dão origem às formas quadráticas abaixo:
q(x1, x2, x3)=x1^2-x2^2+4 x2 x3

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a matriz A da forma bilinear simétrica associada à forma quadrática
q(x1,x2,x3) = x1^2 - x2^2 + 4,x2x3
Sabemos que, em coordenadas,
q(x) = x^TA,x
onde A é simétrica.

Passo 2

Escrevendo x^TA,x em termos dos coeficientes de A=(aij), temos
q(x) = sumi=1^3aiixi^2 + 2sum1<= i<j<=3aij,xixj
Portanto:
  • o coeficiente de xi^2 em q é aii,
  • o coeficiente de xixj em q é 2aij para i<j.

Passo 3

Comparando com q(x1,x2,x3) = x1^2 - x2^2 + 4,x2x3, obtemos:
a11 = 1, a22 = -1, a33 = 0,
2a12 = 0 implies a12=0, 2a13 = 0 implies a13=0, 2a23 = 4 implies a23=2
Como A é simétrica, a21=a12, a31=a13, a32=a23.

Resposta

A = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 2 0 & 2 & 0

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