Mostre que o conjunto das matrizes n times n simétricas é um subespaço vetorial de Mn times n(R). Nota: Uma matriz A é simétrica se for igual à sua transposta, ou seja, A^T=A.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
S = A in Mntimes n(R) mid A^T = A
das matrizes simétricas é um subespaço vetorial de Mntimes n(R). Para isso, precisamos verificar três propriedades:
  1. o elemento zero está em S;
  2. S é fechado sob soma;
  3. S é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 2

Verificamos que a matriz zero 0 de Mntimes n(R) é simétrica, pois a sua transposta é ela mesma:
0^T = 0
Logo, 0 in S.

Passo 3

Tomemos duas matrizes simétricas A e B, ou seja, A^T = A e B^T = B. Então a transposta da soma é
(A + B)^T = A^T + B^T = A + B
Isso mostra que A + B também pertence a S, provando o fechamento sob soma.

Passo 4

Seja Ain S com A^T = A e seja cinR. Então a transposta de cA é
(cA)^T = c,A^T = c,A,
logo cA também é simétrica e pertence a S, garantindo o fechamento sob multiplicação por escalares.

Resposta

Como S contém a matriz zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalares, concluímos que o conjunto das matrizes simétricas é um subespaço vetorial de Mntimes n(R).

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