Mostre que o conjunto das matrizes
simétricas é um subespaço vetorial de
. Nota: Uma matriz
é simétrica se for igual à sua transposta, ou seja,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
das matrizes simétricas é um subespaço vetorial de
. Para isso, precisamos verificar três propriedades:
- o elemento zero está em
; -
é fechado sob soma; -
é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 2
Verificamos que a matriz zero
de
é simétrica, pois a sua transposta é ela mesma:
Logo,
.
Passo 3
Tomemos duas matrizes simétricas
e
, ou seja,
e
. Então a transposta da soma é
Isso mostra que
também pertence a
, provando o fechamento sob soma.
Passo 4
Seja
com
e seja
. Então a transposta de
é
logo
também é simétrica e pertence a
, garantindo o fechamento sob multiplicação por escalares.
Resposta
Como
contém a matriz zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalares, concluímos que o conjunto das matrizes simétricas é um subespaço vetorial de
.