Classifique as superfícies abaixo. Escreva a equação na forma canônica. Dê a direção dos três eixos principais.
Passo 1
Temos a superfície dada por
Isso é um quádruplo de segundo grau em
. Nosso objetivo é classificá-lo (elipsoide, hiperboloide, paraboloide etc.), escrever sua forma canônica e indicar a direção dos três eixos principais. Para isso vamos completar quadrados em
e depois fazer uma translação de coordenadas.
Passo 2
Reescrevendo e agrupando termos em
e
:
Em seguida completamos o quadrado em
e em
.
Passo 3
Complete os quadrados:
que dá
Passo 4
Isolando
,
Fazendo a translação de vértice
a equação fica
ou de forma equivalente em bloco:
Passo 5
Como obtemos soma de quadrados de
igual a
, sem termos mistos, a superfície é um paraboloide elíptico cuja “boca” abre na direção positiva de
. O vértice está no ponto
.
Passo 6
Eixos principais (todos passando pelo vértice
):
– Eixo de simetria (direção do eixo do paraboloide): vetor
.
– Eixos geratrizes (direções das parábolas nas seções planas): vetores e
.
– Eixos geratrizes (direções das parábolas nas seções planas): vetores
Resposta
Equação canônica (com
,
,
):
Classificação: paraboloide elíptico com vértice em
.
Direções dos eixos principais:
,
e
.
Direções dos eixos principais: