Classifique as superfícies abaixo. Escreva a equação na forma canônica. Dê a direção dos três eixos principais.
x^2+y^2-2 x-2 y-4 z+3=0

Passo 1

Temos a superfície dada por
x^2+y^2-2x-2y-4z+3=0
Isso é um quádruplo de segundo grau em (x,y,z). Nosso objetivo é classificá-lo (elipsoide, hiperboloide, paraboloide etc.), escrever sua forma canônica e indicar a direção dos três eixos principais. Para isso vamos completar quadrados em x,y e depois fazer uma translação de coordenadas.

Passo 2

Reescrevendo e agrupando termos em x e y:
x^2-2x;+;y^2-2y;-;4z;+;3;=;0
Em seguida completamos o quadrado em x e em y.

Passo 3

Complete os quadrados:
x^2-2x+1 ;+;y^2-2y+1 ;-;4z ;+;3 ;-;1;-;1 = 0
que dá
(x-1)^2 + (y-1)^2 -4z +1 = 0

Passo 4

Isolando z,
(x-1)^2 + (y-1)^2 +1 = 4z Longrightarrow z = (x-1)^24 + (y-1)^24 + 14
Fazendo a translação de vértice
U = x-1, V = y-1, W = z - tfrac14
a equação fica
W ;=;U^24 + V^24,
ou de forma equivalente em bloco:
U^24 + V^24 - W = 0

Passo 5

Como obtemos soma de quadrados de U,V igual a W, sem termos mistos, a superfície é um paraboloide elíptico cuja “boca” abre na direção positiva de W. O vértice está no ponto ,(1,1,tfrac14).

Passo 6

Eixos principais (todos passando pelo vértice (1,1,tfrac14)):
– Eixo de simetria (direção do eixo do paraboloide): vetor (0,0,1).
– Eixos geratrizes (direções das parábolas nas seções planas): vetores (1,0,0) e (0,1,0).

Resposta

Equação canônica (com U=x-1, V=y-1, W=z-tfrac14):
W = U^24 + V^24
Classificação: paraboloide elíptico com vértice em (1,1,tfrac14).
Direções dos eixos principais:
(0,0,1), (1,0,0) e (0,1,0).

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