1. Escreva a matriz de projeção para uma perspectiva com um ponto de fuga.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de projeção perspectiva (com um único ponto de fuga) que leva um ponto (x,y,z) do espaço para o plano de projeção z=d, usando coordenadas homogêneas (x,y,z,1) \mapsto (x',y',z',1). Vamos usar o fato de que, por semelhança de triângulos,
x'=\frac{d}{z}\,x,\quad y'=\frac{d}{z}\,y,\quad z'=d.

Passo 2

Para obter essa transformação em coordenadas homogêneas, procuramos uma matriz P\in\mathbb{R}^{4\times4} tal que, para todo vetor homogêneo
\mathbf v=\begin{pmatrix}x\y\z\\\ 1\end{pmatrix},
tenhamos
P\,\mathbf v =\begin{pmatrix}p_x\p_y\p_z\p_w\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\tfrac{p_x}{p_w},\,\tfrac{p_y}{p_w},\,\tfrac{p_z}{p_w}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{d\,x}{z},\,\tfrac{d\,y}{z},\,d\Bigr).

Passo 3

Para que \tfrac{p_x}{p_w}=\tfrac{d\,x}{z} e \tfrac{p_y}{p_w}=\tfrac{d\,y}{z}, basta que
\begin{cases} p_x = x,\\\ p_y = y,\\\ p_z = z,\\\ p_w = \dfrac{z}{d}. \end{cases}
De fato, após divisão homogênea:
\frac{p_x}{p_w}=\frac{x}{\,z/d\,}=\frac{d\,x}{z},\quad \frac{p_y}{p_w}=\frac{y}{\,z/d\,}=\frac{d\,y}{z},\quad \frac{p_z}{p_w}=\frac{z}{\,z/d\,}=d.

Passo 4

Escrevendo p_x,p_y,p_z,p_w como combinação linear das componentes de \mathbf v, vemos que a matriz P é
P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & \tfrac{1}{d} & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & \dfrac{1}{d} & 0 \end{pmatrix},
que, aplicado a (x,y,z,1)^T, dá após divisão homogênea \bigl(d\,x/z,\;d\,y/z,\;d,\;1\bigr)^T.

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