Escreva a matriz de transformação
para a projeção de vetores de
na direção
em relação à base canônica. Escreva a matriz de transformação
na base
de duas maneiras: (a) calculando diretamente
para
; (b) encontrando a matriz mudança de base da base
para a base canônica e utilizando a relação da nota 2 acima.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos.
- Pedem a matriz de transformação
da projeção de vetores de "na direção " em relação à base canônica. - Pedem também a matriz de transformação
na base de duas maneiras:
(a) calculando diretamentepara ;
(b) usando a matriz de mudança de base da basepara a base canônica e a relação entre as matrizes de representação. - Vetores fornecidos pela base
: -
. -
.
-
Passo 2
Entender o que significa "projeção na direção
" e a fórmula que vamos usar.
- Interpretação adotada: projetar ortogonalmente qualquer vetor
sobre a reta que passa pela origem com direção dada pelo vetor . (Isto é a interpretação usual de "projeção na direção ".) - Fórmula da projeção ortogonal de
sobre o subespaço gerado por : - Aqui
é o produto escalar usual e .
- Aqui
- Explicando cada coisa de forma bem simples:
- O numerador
mede quanto de está “na direção” de . - O denominador normaliza por
para ajustar o comprimento de . - Multiplicando por
obtemos o vetor na reta gerada por .
- O numerador
Passo 3
Calcular
na base canônica usando a fórmula da projeção.
- Tome
. Então . - Para um vetor genérico
temos . - Assim a projeção é
- Agora escrevemos isso como multiplicação por uma matriz
. Queremos tal que . - Isso dá, lendo coeficientes, a matriz
- Comentário prático: é uma matriz simétrica e idempotente (
), característica típica de projeções ortogonais.]
Passo 4
Método (a) — calcular
aplicando
diretamente aos vetores da base
.
- Calcule
com . - Usando a fórmula da projeção,
já está na reta gerada por , então
- Usando a fórmula da projeção,
- Calcule
com . - Primeiro
, então
- Primeiro
- Agora devemos expressar esses resultados nas coordenadas da base
. - O vetor
é exatamente , ou seja tem coordenadas na base . - O vetor
tem coordenadas na base .
- O vetor
- A matriz
tem como colunas as coordenadas de e na base . Portanto - Intuição fácil: em coordenadas relativas a
, a projeção mantém a componente na direção (primeira coordenada) e zera a componente perpendicular (segunda coordenada).]
Passo 5
Método (b) — usar matriz de mudança de base e a relação de conjugação.
- Seja
a matriz que converte coordenadas em para coordenadas canônicas (ou seja, as colunas de são os vetores da base escritos na base canônica). Portanto - Explicação rápida: primeira coluna é
, segunda coluna é .
- Explicação rápida: primeira coluna é
- A relação entre as representações é
- Razoamento curto:
leva coordenadas em para coordenadas canônicas; aplicar no canônico e voltar para é conjugação por .
- Razoamento curto:
- Calcule
. Determinante de é . Logo - Já temos
. Calcule primeiro: - Multiplicando,
- Multiplicando,
- Agora calcule
: -
- Resultado:
, que coincide com o obtido no método (a), como deve acontecer.]