Escreva a matriz de transformação [P] para a projeção de vetores de \mathbb{R}^{2} na direção y=x em relação à base canônica. Escreva a matriz de transformação [P]_{B}^{B} na base B=\{(1,1),(-1,1)\} de duas maneiras: (a) calculando diretamente P\left(\vec{v}_{i}\right) para \vec{v}_{i} \in B; (b) encontrando a matriz mudança de base da base B para a base canônica e utilizando a relação da nota 2 acima.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Pedem a matriz de transformação [P] da projeção de vetores de \mathbb{R}^2 "na direção y=x" em relação à base canônica.
  • Pedem também a matriz de transformação [P]_{B}^{B} na base B=\{(1,1),(-1,1)\} de duas maneiras:
    (a) calculando diretamente P(\vec{v}_i) para \vec{v}_i\in B;
    (b) usando a matriz de mudança de base da base B para a base canônica e a relação entre as matrizes de representação.
  • Vetores fornecidos pela base B:
    • \vec{v}_1=(1,1).
    • \vec{v}_2=(-1,1).

Passo 2

Entender o que significa "projeção na direção y=x" e a fórmula que vamos usar.
  • Interpretação adotada: projetar ortogonalmente qualquer vetor \vec{v}\in\mathbb{R}^2 sobre a reta que passa pela origem com direção dada pelo vetor \vec{w}=(1,1). (Isto é a interpretação usual de "projeção na direção y=x".)
  • Fórmula da projeção ortogonal de \vec{v} sobre o subespaço gerado por \vec{w}: \operatorname{proj}_{\langle \vec{w}\rangle}(\vec{v})=\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\vec{w}\cdot\vec{w}}\\ \vec{w}.
    • Aqui \vec{v}\cdot\vec{w} é o produto escalar usual e \vec{w}\cdot\vec{w}=\|\vec{w}\|^2.
  • Explicando cada coisa de forma bem simples:
    • O numerador \vec{v}\cdot\vec{w} mede quanto de \vec{v} está “na direção” de \vec{w}.
    • O denominador normaliza por \|\vec{w}\|^2 para ajustar o comprimento de \vec{w}.
    • Multiplicando por \vec{w} obtemos o vetor na reta gerada por \vec{w}.

Passo 3

Calcular [P] na base canônica usando a fórmula da projeção.
  • Tome \vec{w}=(1,1). Então \vec{w}\cdot\vec{w}=1^2+1^2=2.
  • Para um vetor genérico \vec{v}=(x,y) temos \vec{v}\cdot\vec{w}=x+y.
  • Assim a projeção é \operatorname{proj}_{\langle(1,1)\rangle}((x,y))=\frac{x+y}{2}\,(1,1)=\left(\frac{x+y}{2},\frac{x+y}{2}\right).
  • Agora escrevemos isso como multiplicação por uma matriz 2\times2. Queremos P tal que P\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{x+y}{2}\\[4pt]\frac{x+y}{2}\end{pmatrix}.
  • Isso dá, lendo coeficientes, a matriz [P]=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
  • Comentário prático: é uma matriz simétrica e idempotente ( P^2=P), característica típica de projeções ortogonais.]

Passo 4

Método (a) — calcular [P]_{B}^{B} aplicando P diretamente aos vetores da base B.
  • Calcule P(\vec{v}_1) com \vec{v}_1=(1,1).
    • Usando a fórmula da projeção, \vec{v}_1 já está na reta gerada por (1,1), então P((1,1))=(1,1).
  • Calcule P(\vec{v}_2) com \vec{v}_2=(-1,1).
    • Primeiro \vec{v}_2\cdot\vec{w}=(-1)+1=0, então P((-1,1))=\frac{0}{2}(1,1)=(0,0).
  • Agora devemos expressar esses resultados nas coordenadas da base B.
    • O vetor (1,1) é exatamente \vec{v}_1, ou seja tem coordenadas (1,0) na base B.
    • O vetor (0,0) tem coordenadas (0,0) na base B.
  • A matriz [P]_{B}^{B} tem como colunas as coordenadas de P(\vec{v}_1) e P(\vec{v}_2) na base B. Portanto [P]_{B}^{B}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
  • Intuição fácil: em coordenadas relativas a B, a projeção mantém a componente na direção (1,1) (primeira coordenada) e zera a componente perpendicular (-1,1) (segunda coordenada).]

Passo 5

Método (b) — usar matriz de mudança de base e a relação de conjugação.
  • Seja S a matriz que converte coordenadas em B para coordenadas canônicas (ou seja, as colunas de S são os vetores da base B escritos na base canônica). Portanto S=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
    • Explicação rápida: primeira coluna é \vec{v}_1=(1,1), segunda coluna é \vec{v}_2=(-1,1).
  • A relação entre as representações é [P]_{B}^{B}=S^{-1}[P]S.
    • Razoamento curto: S leva coordenadas em B para coordenadas canônicas; aplicar [P] no canônico e voltar para B é conjugação por S.
  • Calcule S^{-1}. Determinante de S é 1\cdot1-(-1)\cdot1=2. Logo S^{-1}=\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}.
  • Já temos [P]=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}. Calcule PS primeiro:
    • Multiplicando, PS=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
  • Agora calcule S^{-1}(PS):
    • S^{-1}(PS)=\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} =\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
  • Resultado: [P]_{B}^{B}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}, que coincide com o obtido no método (a), como deve acontecer.]

Resposta

[P]=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}
[P]_{B}^{B}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}]

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