Sejam \alpha_{1}=\{(1,0),(0,1)\}, \alpha_{2}=\{(1,1),(2,3)\} e \alpha_{3}=\{(-1,2),(-2,1)\}. Exiba as matrizes de mudança de base:
da base \alpha_{2} para a base \alpha_{3}.

Passo 1

O enunciado pede: "Exiba a matriz de mudança de base da base \alpha_{2} para a base \alpha_{3}". As bases fornecidas são (peguei todas do enunciado):
  • \alpha_{1}=\{(1,0),(0,1)\} (base canônica, só para referência).
  • \alpha_{2}=\{(1,1),(2,3)\}. Vou denotar os vetores de \alpha_{2} por v_{1}=(1,1),\qquad v_{2}=(2,3).
  • \alpha_{3}=\{(-1,2),(-2,1)\}. Vou denotar os vetores de \alpha_{3} por w_{1}=(-1,2),\qquad w_{2}=(-2,1).
O que se pede é a matriz de mudança de base P tal que, para qualquer vetor x,
[x]_{\alpha_{3}} = P\,[x]_{\alpha_{2}}.

Passo 2

Explicação do método (passo-a-passo didático):
  • A ideia: para obter a matriz P que leva coordenadas em \alpha_{2} para coordenadas em \alpha_{3}, basta expressar cada vetor da base \alpha_{2} como combinação linear dos vetores de \alpha_{3}.
  • Se um vetor v da base \alpha_{2} pode ser escrito como v = a\,w_{1} + b\,w_{2},então o par (a,b) são as coordenadas de v na base \alpha_{3}, isto é [v]_{\alpha_{3}} = \begin{pmatrix}a\\[4pt]b\end{pmatrix}.
  • As colunas da matriz P são exatamente essas coordenadas, cada coluna correspondendo a um vetor de \alpha_{2}. Em fórmula: P=\big([v_{1}]_{\alpha_{3}}\\ \\ [v_{2}]_{\alpha_{3}}\big),onde cada [v_{i}]_{\alpha_{3}} é um vetor coluna de duas entradas.]

Passo 3

Como calcular as coordenadas [v_{i}]_{\alpha_{3}} na prática:
  • Monta-se a matriz cujas colunas são w_{1} e w_{2}: W=\big(w_{1}\\ w_{2}\big)= \begin{pmatrix} -1 & -2\\[4pt] 2 & 1 \end{pmatrix}.
  • Se v é um dos vetores de \alpha_{2}, queremos c tal que W\,c = v,portanto c = W^{-1} v.
  • Para matrizes 2\times2 usa-se a fórmula da inversa: para \displaystyle M=\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix} com \det(M)=ad-bc\neq0, M^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular W^{-1}:
  • Primeiro o determinante de W: \det(W)=(-1)\cdot 1 - (-2)\cdot 2 = -1 -(-4)=3.
  • Aplicando a fórmula da inversa: W^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-2 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular as coordenadas de v_{1}=(1,1):
  • Usando c_{1}=W^{-1}v_{1}: c_{1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-2 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1+2\\[4pt]-2-1\end{pmatrix} =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}3\\[4pt]-3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
  • Conclusão: [v_{1}]_{\alpha_{3}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular as coordenadas de v_{2}=(2,3):
  • Usando c_{2}=W^{-1}v_{2}: c_{2}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-2 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix} =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2+6\\[4pt]-4-3\end{pmatrix} =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}8\\[4pt]-7\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}8/3\\[4pt]-7/3\end{pmatrix}.
  • Conclusão: [v_{2}]_{\alpha_{3}}=\begin{pmatrix}8/3\\[4pt]-7/3\end{pmatrix}.]

Passo 7

As colunas da matriz de mudança de base P são exatamente c_{1} e c_{2} (nessa ordem, correspondendo a v_{1} e v_{2} de \alpha_{2}). Portanto as colunas são:
\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \begin{pmatrix}8/3\\[4pt]-7/3\end{pmatrix}.]

Resposta

P= \begin{pmatrix} 1 & \dfrac{8}{3}\\[8pt] -1 & -\dfrac{7}{3} \end{pmatrix}]

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