Sejam
e
. Exiba as matrizes de mudança de base:
da base
para a base
.
da base
Passo 1
O enunciado pede: "Exiba a matriz de mudança de base da base
para a base
". As bases fornecidas são (peguei todas do enunciado):
-
(base canônica, só para referência). -
. Vou denotar os vetores de por -
. Vou denotar os vetores de por
O que se pede é a matriz de mudança de base
tal que, para qualquer vetor
,
Passo 2
Explicação do método (passo-a-passo didático):
- A ideia: para obter a matriz
que leva coordenadas em para coordenadas em , basta expressar cada vetor da base como combinação linear dos vetores de . - Se um vetor
da base pode ser escrito como então o par são as coordenadas de na base , isto é . - As colunas da matriz
são exatamente essas coordenadas, cada coluna correspondendo a um vetor de . Em fórmula: onde cada é um vetor coluna de duas entradas.]
Passo 3
Como calcular as coordenadas
na prática:
- Monta-se a matriz cujas colunas são
e : - Se
é um dos vetores de , queremos tal que portanto - Para matrizes
usa-se a fórmula da inversa: para com , ]
Passo 4
Calcular
:
- Primeiro o determinante de
: - Aplicando a fórmula da inversa:
]
Passo 5
Calcular as coordenadas de
:
- Usando
: - Conclusão:
.]
Passo 6
Calcular as coordenadas de
:
- Usando
: - Conclusão:
.]
Passo 7
As colunas da matriz de mudança de base
são exatamente
e
(nessa ordem, correspondendo a
e
de
). Portanto as colunas são: