Escreva, mas não calcule, uma integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno da reta especificada.
x^2-y^2=1, x=3 ; em torno de x=-2

Passo 1

A região está limitada pelas curvas x^2 - y^2 = 1 (hipérbole de ramo direito) e x = 3, e é girada em torno da reta x = -2. O conteúdo aqui é volume de sólido de revolução e vamos usar o método dos cilindros (casca cilíndrica).

Passo 2

Para o método das cascas: cada casca é obtida em uma posição x entre o ponto mais à esquerda da região até o ponto x=3. Na hipérbole x^2 - y^2 = 1 temos x >= 1, então x varia de 1 a 3.

Passo 3

O raio da casca, isto é, a distância da reta de rotação x=-2 até a abscissa x, é
r(x) = x - (-2) = x + 2
A altura da casca é a distância vertical entre as partes superior e inferior da região, dada por
h(x) = ytopo - yfundo = raizx^2 - 1 - (-raizx^2 - 1) = 2raizx^2 - 1

Passo 4

O volume de uma casca de espessura dx é dado por
dV = 2pi,r(x),h(x),dx

Passo 5

Portanto, o volume total é a integral
V = integralx=1^3 2pil(x+2r)l(2raizx^2-1r),dx = 4pi integral1^3 (x+2)raizx^2-1,dx

Resposta

V = 4pi integral1^3 (x+2)raizx^2-1,dx

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