Determine
integral(sec ^3(x)) d x

Passo 1

Tranquilo, o que a gente vai fazer é calcular
integral sec^3(x),dx
usando duas ferramentas principais: integração por partes e a identidade
tan^2(x) + 1 = sec^2(x)
Além disso, a integral
integral sec(x),dx = lnl|sec(x) + tan(x)r| + C
vai aparecer no passo final.

Passo 2

Definimos
I = integral sec^3(x),dx
e aplicamos a fórmula de integração por partes
integral u,dv = u,v - integral v,du
Escolhemos
u = sec(x), dv = sec^2(x),dx
que dá
du = sec(x)tan(x),dx, v = tan(x)

Passo 3

Aplicando partes:
I = sec(x)tan(x) - integral tan(x),l(sec(x)tan(x)r),dx = sec(x)tan(x) - integral sec(x)tan^2(x),dx

Passo 4

Usamos a identidade tan^2(x)=sec^2(x)-1:
integral sec(x)tan^2(x),dx = integral sec(x)l(sec^2(x)-1r),dx = integral sec^3(x),dx - integral sec(x),dx = I - integral sec(x),dx

Passo 5

Voltando em I:
I = sec(x)tan(x) - l(I - integral sec(x),dxr) = sec(x)tan(x) - I + integral sec(x),dx
Então
2I = sec(x)tan(x) + integral sec(x),dx

Passo 6

Como sabemos
integral sec(x),dx = lnl|sec(x)+tan(x)r| + C,
temos
2I = sec(x)tan(x) + lnl|sec(x)+tan(x)r| + C Longrightarrow I = tfrac12,sec(x)tan(x) + tfrac12,lnl|sec(x)+tan(x)r| + C

Resposta

integral sec^3(x),dx = 12l(sec(x)tan(x) + lnlvertsec(x)+tan(x)rvertr) + C

Exercícios relacionados