Escreva, sem necessidade de calcular, as integrais para o cálculo do comprimento da curva
, com
a)
b)
a)
b)
Passo 1
O enunciado dá a curva
no intervalo
e pede que eu escreva, sem calcular, as integrais que representam o comprimento total da curva usando as duas formas:
a)
b)
a)
b)
Informações relevantes fornecidas:
- A função:
. - O intervalo em
: . - As duas fórmulas diferenciais de comprimento pedidas (em
e em ).
A partir disso preciso escrever as integrais definidas correspondentes (com os limites corretos) sem efetuar a integração.
Passo 2
Calcular
de forma bem explicada (regra do poder):
Escrevo . Pela regra do poder, a derivada de
é
vezes a derivada de
(que é
). Logo
Escrevo
Agora calculemos o quadrado da derivada, passo a passo:
Substituindo em
e simplificando frações:
Portanto a forma em
do elemento de comprimento é
Como o intervalo em
é
, a integral que dá o comprimento total é
Passo 3
Agora montar a forma em
. Primeiro obtenho a função inversa (ou calculo
): a partir de
elevando ao quadrado temos
, então
Derivando em relação a
:
O quadrado é
Substituindo em
obtemos o integrando em
:
Agora preciso dos limites em
. Uso a função dada para converter os extremos em
para
:
Portanto a integral em
que representa o comprimento total é
Passo 4
(Breve verificação de consistência, mostrando que as duas formas dão a mesma integral ao mudar de variável.)
Se eu transformar a integral em para
usando
e
, então no integrando em
:
Se eu transformar a integral em
substituindo
dá
Multiplicando por
resulta
, que é exatamente o integrando da forma em
com os mesmos limites em
. Assim as duas expressões são equivalentes, como esperado.