Escreva, sem necessidade de calcular, as integrais para o cálculo do comprimento da curva y=\sqrt{x+2}, com 1 \leq x \leq 7
a) d L=\sqrt{1+\left[\frac{d y}{d x}\right]^{2}} d x
b) d L=\sqrt{1+\left[\frac{d x}{d y}\right]^{2}} d y

Passo 1

O enunciado dá a curva y=\sqrt{x+2} no intervalo 1 \leq x \leq 7 e pede que eu escreva, sem calcular, as integrais que representam o comprimento total da curva usando as duas formas:
a) dL=\sqrt{1+\left[\dfrac{dy}{dx}\right]^{2}}\,dx
b) dL=\sqrt{1+\left[\dfrac{dx}{dy}\right]^{2}}\,dy
Informações relevantes fornecidas:
  • A função: y=\sqrt{x+2}.
  • O intervalo em x: 1 \leq x \leq 7.
  • As duas fórmulas diferenciais de comprimento pedidas (em dx e em dy).
    A partir disso preciso escrever as integrais definidas correspondentes (com os limites corretos) sem efetuar a integração.

Passo 2

Calcular \dfrac{dy}{dx} de forma bem explicada (regra do poder):
Escrevo y=(x+2)^{1/2}. Pela regra do poder, a derivada de (x+2)^{1/2} é \tfrac{1}{2}(x+2)^{-1/2} vezes a derivada de x+2 (que é 1). Logo
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x+2}}.
Agora calculemos o quadrado da derivada, passo a passo:
\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}=\left(\frac{1}{2\sqrt{x+2}}\right)^{2}=\frac{1}{4(x+2)}.
Substituindo em \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} e simplificando frações:
\sqrt{1+\frac{1}{4(x+2)}}=\sqrt{\frac{4(x+2)+1}{4(x+2)}}=\sqrt{\frac{4x+9}{4(x+2)}}=\frac{\sqrt{4x+9}}{2\sqrt{x+2}}.
Portanto a forma em dx do elemento de comprimento é
dL=\frac{\sqrt{4x+9}}{2\sqrt{x+2}}\,dx.
Como o intervalo em x é [1,7], a integral que dá o comprimento total é
L=\int_{1}^{7}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx=\int_{1}^{7}\frac{\sqrt{4x+9}}{2\sqrt{x+2}}\,dx.

Passo 3

Agora montar a forma em dy. Primeiro obtenho a função inversa (ou calculo dx/dy): a partir de y=\sqrt{x+2} elevando ao quadrado temos y^{2}=x+2, então
x=y^{2}-2.
Derivando em relação a y:
\frac{dx}{dy}=2y.
O quadrado é
\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}=4y^{2}.
Substituindo em \sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}} obtemos o integrando em y:
\sqrt{1+4y^{2}}.
Agora preciso dos limites em y. Uso a função dada para converter os extremos em x para y:
y(1)=\sqrt{1+2}=\sqrt{3},\qquad y(7)=\sqrt{7+2}=\sqrt{9}=3.
Portanto a integral em y que representa o comprimento total é
L=\int_{\sqrt{3}}^{3}\sqrt{1+4y^{2}}\,dy.

Passo 4

(Breve verificação de consistência, mostrando que as duas formas dão a mesma integral ao mudar de variável.)
Se eu transformar a integral em x para y usando x=y^{2}-2 e dx=2y\,dy, então no integrando em x:
\frac{\sqrt{4x+9}}{2\sqrt{x+2}}
substituindo x=y^{2}-2
\frac{\sqrt{4y^{2}+1}}{2y}.
Multiplicando por dx=2y\,dy resulta \sqrt{4y^{2}+1}\,dy=\sqrt{1+4y^{2}}\,dy, que é exatamente o integrando da forma em dy com os mesmos limites em y. Assim as duas expressões são equivalentes, como esperado.

Resposta

L=\int_{1}^{7}\frac{\sqrt{4x+9}}{2\sqrt{x+2}}\,dx
L=\int_{\sqrt{3}}^{3}\sqrt{1+4y^{2}}\,dy

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