1. y=\operatorname{arccos} u \Rightarrow y^{\prime}=\frac{-u'}{\sqrt{1-u^{2}}}.

Passo 1

O enunciado dá a igualdade \;y=\operatorname{arccos} u\; e afirma a derivada \;y'=\dfrac{-u'}{\sqrt{1-u^{2}}}.
O que se pede (implícito) é mostrar/derivar essa fórmula: encontrar a derivada de y em função de u e u'.
Informações relevantes que já temos:
  • u é uma função de x (ou seja, u=u(x)).
  • u' significa \dfrac{du}{dx}.
  • A função \operatorname{arccos} é a inversa de \cos no intervalo [0,\pi].

Passo 2

Transformação inicial (usar a definição de função inversa): como y=\operatorname{arccos} u, aplicando o cosseno aos dois lados obtemos
\cos y = u.
Isto é válido porque \operatorname{arccos} é a inversa de \cos no intervalo de definição escolhido. Aqui estamos reescrevendo a relação de forma que possamos diferenciar em relação a x.

Passo 3

Diferenciação implícita: diferenciamos a igualdade \cos y = u em relação a x. Lembre que y depende de x via u(x), então ao derivar \cos y usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz: se y=y(x) então
\frac{d}{dx}[\cos(y(x))] = -\sin(y(x))\cdot y'(x).
Aplicando isso no nosso caso, obtemos
-\sin y \cdot y' = u'.

Passo 4

Isolar y': agora resolvemos a equação para y'. Dividindo ambos os lados por -\sin y (quando \sin y\neq0) temos
y' = -\frac{u'}{\sin y}.
Expliquei cada passo: diferenciamos, aplicamos cadeia, e isolamos y' por álgebra básica.

Passo 5

Expressar \sin y em termos de u: usamos a identidade trigonométrica fundamental
\sin^{2}y + \cos^{2}y = 1.
Como \cos y = u, substituímos e obtemos
\sin^{2}y = 1 - u^{2}.
Portanto \sin y = \pm\sqrt{1-u^{2}}.

Passo 6

Escolher o sinal correto do radical: como y=\operatorname{arccos} u, sabemos que y\in[0,\pi]. Nesse intervalo \sin y\ge 0. Logo devemos tomar o sinal positivo do radical:
\sin y = \sqrt{1-u^{2}}.
Substituindo na expressão de y' do Passo 4, obtemos
y' = -\frac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}}.

Passo 7

Observações finais e exemplos práticos:
  • A fórmula vale desde que |u|\le 1 (caso contrário \operatorname{arccos} u não está definida no real) e \sqrt{1-u^{2}}\neq 0 (se \sqrt{1-u^{2}}=0, isto é, u=\pm1, o denominador é zero e a derivada pode não existir ou ser infinita dependendo de u').
  • Exemplo rápido: se y=\operatorname{arccos} x (ou seja, u(x)=x), então u'=1 e
y'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
  • Exemplo com cadeia: se y=\operatorname{arccos}(2x+1), então u(x)=2x+1, u'=2 e
y'=-\frac{2}{\sqrt{1-(2x+1)^{2}}}.

Resposta

\displaystyle y'=-\frac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}}

Exercícios relacionados