-
.
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
e afirma a derivada
.
O que se pede (implícito) é mostrar/derivar essa fórmula: encontrar a derivada de em função de
e
.
Informações relevantes que já temos:
O que se pede (implícito) é mostrar/derivar essa fórmula: encontrar a derivada de
Informações relevantes que já temos:
-
é uma função de (ou seja, ). -
significa . - A função
é a inversa de no intervalo .
Passo 2
Transformação inicial (usar a definição de função inversa): como
, aplicando o cosseno aos dois lados obtemos
Isto é válido porque
é a inversa de
no intervalo de definição escolhido. Aqui estamos reescrevendo a relação de forma que possamos diferenciar em relação a
.
Passo 3
Diferenciação implícita: diferenciamos a igualdade
em relação a
. Lembre que
depende de
via
, então ao derivar
usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz: se
então
Aplicando isso no nosso caso, obtemos
Passo 4
Isolar
: agora resolvemos a equação para
. Dividindo ambos os lados por
(quando
) temos
Expliquei cada passo: diferenciamos, aplicamos cadeia, e isolamos
por álgebra básica.
Passo 5
Expressar
em termos de
: usamos a identidade trigonométrica fundamental
Como
, substituímos e obtemos
Portanto
.
Passo 6
Escolher o sinal correto do radical: como
, sabemos que
. Nesse intervalo
. Logo devemos tomar o sinal positivo do radical:
Substituindo na expressão de
do Passo 4, obtemos
Passo 7
Observações finais e exemplos práticos:
- A fórmula vale desde que
(caso contrário não está definida no real) e (se , isto é, , o denominador é zero e a derivada pode não existir ou ser infinita dependendo de ). - Exemplo rápido: se
(ou seja, ), então e
- Exemplo com cadeia: se
, então , e