Calcule a integral iteracla
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
Informações dadas e o que é pedido:
- A função integrada é
. - Os limites externos são
variando de a . - Para cada
, o limite interno é variando de a . - Pedido: encontrar o valor numérico dessa integral iterada.
Passo 2
Vamos entender a região de integração no plano
. As desigualdades são
Isto significa que o ponto
está no triângulo acima da reta
e abaixo de
, com
entre
e
. Em forma de conjunto,
Passo 3
Podemos trocar a ordem de integração porque a função
é contínua em
(região limitada), logo a integral dupla é bem definida e as integrais iteradas com ordens trocadas são iguais (teorema de Fubini/Tonelli, em linguagem simples: em regiões razoáveis e com função contínua, trocar a ordem dá o mesmo resultado). Não se assuste com o nome do teorema — aqui usamos a ideia prática: descrever a mesma região
com
primeiro e
depois.
Passo 4
Descrevendo
trocando a ordem:
varia do menor valor
até
, e para cada
fixo,
varia de
até
. Assim a integral trocada é
Passo 5
Calcule a integral interna em
. Note que
é constante em relação a
(porque depende só de
). Então
Isto reduz o problema a uma integral simples em
:
Passo 6
Agora resolvemos
com substituição adequada. Seja
Os limites em
ficam: quando
então
; quando
então
. Assim
A primitiva de
é
. Portanto
Como
, obtemos