Calcule a integral iteracla
\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} \operatorname{Sen}\left(y^{2}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} \operatorname{Sen}\left(y^{2}\right)\,dy\,dx.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função integrada é \operatorname{Sen}\left(y^{2}\right).
  • Os limites externos são x variando de 0 a 1.
  • Para cada x, o limite interno é y variando de x a 1.
  • Pedido: encontrar o valor numérico dessa integral iterada.

Passo 2

Vamos entender a região de integração no plano xy. As desigualdades são
0 \le x \le 1,\qquad x \le y \le 1.
Isto significa que o ponto (x,y) está no triângulo acima da reta y=x e abaixo de y=1, com x entre 0 e 1. Em forma de conjunto,
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le y\le 1\}.

Passo 3

Podemos trocar a ordem de integração porque a função \operatorname{Sen}(y^{2}) é contínua em R (região limitada), logo a integral dupla é bem definida e as integrais iteradas com ordens trocadas são iguais (teorema de Fubini/Tonelli, em linguagem simples: em regiões razoáveis e com função contínua, trocar a ordem dá o mesmo resultado). Não se assuste com o nome do teorema — aqui usamos a ideia prática: descrever a mesma região R com y primeiro e x depois.

Passo 4

Descrevendo R trocando a ordem: y varia do menor valor 0 até 1, e para cada y fixo, x varia de 0 até y. Assim a integral trocada é
\int_{0}^{1}\int_{0}^{y}\operatorname{Sen}\left(y^{2}\right)\,dx\,dy.

Passo 5

Calcule a integral interna em x. Note que \operatorname{Sen}\left(y^{2}\right) é constante em relação a x (porque depende só de y). Então
\int_{0}^{y}\operatorname{Sen}\left(y^{2}\right)\,dx = \operatorname{Sen}\left(y^{2}\right)\cdot\bigl[x\bigr]_{0}^{y} = y\,\operatorname{Sen}\left(y^{2}\right).
Isto reduz o problema a uma integral simples em y:
\int_{0}^{1} y\,\operatorname{Sen}\left(y^{2}\right)\,dy.

Passo 6

Agora resolvemos \int_{0}^{1} y\,\operatorname{Sen}\left(y^{2}\right)\,dy com substituição adequada. Seja
u = y^{2}\quad\Rightarrow\quad du = 2y\,dy \quad\Rightarrow\quad y\,dy = \frac{du}{2}.
Os limites em u ficam: quando y=0 então u=0; quando y=1 então u=1. Assim
\int_{0}^{1} y\,\operatorname{Sen}\left(y^{2}\right)\,dy = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\operatorname{Sen}(u)\,du.
A primitiva de \operatorname{Sen}(u) é -\cos(u). Portanto
\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\operatorname{Sen}(u)\,du = \frac{1}{2}\bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\bigl(-\cos(1) + \cos(0)\bigr).
Como \cos(0)=1, obtemos
\frac{1}{2}\bigl(1-\cos(1)\bigr).

Resposta

\dfrac{1-\cos(1)}{2}

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