• Escreva seu NOME em LETRAS DE FORMA em todas as folhas entregues.
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  • Toda pergunta precisa de JUSTIFICATIVAS claras e concisas em frases inteiras. Respostas sem justificativas NÃO serão consideradas.
Questão Pontuação Resultado
1 2.50
2 2.50
3 2.50
4 2.50
Total: 10.00
  1. (2.50 pontos) Considere a função
|c|c|c| hline Questão & Pontuação & Resu
(b) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de f(x, y)=cc x y^3x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0) na origem.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, $ f(x, y) $, definida de forma específica no ponto f(x, y) e de outra forma fora desse ponto. O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar a definição de derivada parcial e aplicar limites.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ na origem f . A derivada parcial em relação a $ x $ é definida como:
x

Passo 3

Substituindo os valores na definição:
fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - 0h
Pois $ f(0,0) = 0 $.

Passo 4

Agora, calculamos $ f(h, 0) $:
f(h, 0)

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
fx(0,0) = limh to 0 0 - 0h = limh to 0 0 = 0

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ na origem f . A definição é:
y

Passo 7

Substituindo os valores na definição:
fy(0,0) = limk to 0 f(0, k) - 0k
Pois $ f(0,0) = 0 $.

Passo 8

Agora, calculamos $ f(0, k) $:
f(0, k)

Passo 9

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
fy(0,0) = limk to 0 0 - 0k = limk to 0 0 = 0

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem de $ f $ na origem são:
f

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