- Escreva seu NOME em LETRAS DE FORMA em todas as folhas entregues.
- Escreva as respostas claramente, de forma legível.
- Toda pergunta precisa de JUSTIFICATIVAS claras e concisas em frases inteiras. Respostas sem justificativas NÃO serão consideradas.
Questão
Pontuação
Resultado
1
2.50
2
2.50
3
2.50
4
2.50
Total:
10.00
- (2.50 pontos) Considere a função
(b) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de
na origem.
Questão | Pontuação | Resultado |
1 | 2.50 | |
2 | 2.50 | |
3 | 2.50 | |
4 | 2.50 | |
Total: | 10.00 |
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, $ f(x, y) $, definida de forma específica no ponto
e de outra forma fora desse ponto. O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar a definição de derivada parcial e aplicar limites.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ na origem
. A derivada parcial em relação a $ x $ é definida como:
Passo 3
Substituindo os valores na definição:
Pois $ f(0,0) = 0 $.
Passo 4
Agora, calculamos $ f(h, 0) $:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ na origem
. A definição é:
Passo 7
Substituindo os valores na definição:
Pois $ f(0,0) = 0 $.
Passo 8
Agora, calculamos $ f(0, k) $:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem de $ f $ na origem são: