Integrais duplas num domínio qualquer
© Calcular integralD integral x^2 y d x d y onde D é dado pelas retas y=x, y+x=5, y=3 e x=4.

Passo 1

Estamos calculando a integral dupla integral duplaD x^2y,dx,dy, onde o conteúdo é integral dupla num domínio qualquer e vamos precisar montar limites de integração adequados ao formato de D.

Passo 2

O domínio D é o quadrilátero delimitado pelas retas y=x, x+y=5, y=3 e x=4. Encontramos os vértices cruzando pares de retas:
y=x com x+y=5 em A=(tfrac52,tfrac52)
y=x com y=3 em B=(3,3)
y=3 com x=4 em E=(4,3)
x=4 com x+y=5 em D=(4,1)
Esboçando, vemos que para xin[tfrac52,3] a face inferior é y=5-x e a superior é y=x, e para xin[3,4] a inferior continua y=5-x mas a superior passa a ser y=3.

Passo 3

Escolhendo integração em y primeiro, escrevemos
I= integralx=5/2^3integraly=5-x^x x^2y,dy,dx +integralx=3^4integraly=5-x^3 x^2y,dy,dx

Passo 4

Agora calculamos cada parte. Para a primeira:
I1=integral5/2^3x^2l[tfracy^22r]5-x^xdx =tfrac12integral5/2^3x^2l(x^2-(5-x)^2r)dx =965192

Passo 5

E para a segunda parte:
I2=integral3^4x^2l[tfracy^22r]5-x^3dx =tfrac12integral3^4x^2l(9-(5-x)^2r)dx =251960

Passo 6

Somando I=I1+I2=tfrac965192+tfrac251960=dfrac15043320approx47,0094.

Resposta

15043320

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