Escreva em notação sigma (somatório) (x1+x2+cdots+xk)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever a expressão (x1+x2+cdots+xk)^2 usando a notação sigma, que é uma forma compacta de representar somas. Para isso, vamos precisar entender como expandir essa expressão e aplicar a notação de somatório.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o quadrado da soma (x1+x2+cdots+xk)^2. Quando a gente tem um quadrado de uma soma, isso significa que estamos multiplicando a soma por ela mesma:
(x1+x2+cdots+xk) times (x1+x2+cdots+xk)

Passo 3

Ao multiplicar essas duas somas, vamos multiplicar cada termo de uma soma por cada termo da outra. Isso resulta na soma dos quadrados de cada termo mais duas vezes a soma dos produtos de termos diferentes. Ou seja:
x1^2 + x2^2 + cdots + xk^2 + 2(x1x2 + x1x3 + cdots + xk-1xk)

Passo 4

Agora, vamos expressar cada parte dessa soma usando a notação sigma. A primeira parte, que é a soma dos quadrados, pode ser escrita como:
sumi=1^k xi^2
Para a segunda parte, que envolve os produtos de termos diferentes, usamos a notação sigma dupla para considerar todos os pares únicos de i e j onde i < j:
2 sum1 <= i < j <= k xixj

Passo 5

Finalmente, juntamos as duas partes para obter a expressão completa em notação sigma:
(x1+x2+cdots+xk)^2 = sumi=1^k xi^2 + 2 sum1 <= i < j <= k xixj

Resposta

(x1+x2+cdots+xk)^2 = sumi=1^k xi^2 + 2 sum1 <= i < j <= k xixj

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