Escreva o número 120 como a soma de três números tal que a soma dos produtos desses números tomados dois de cada vez é máxima.
Passo 1
O enunciado pede para escrever o número 120 como a soma de três números
,
e
de modo que a expressão
seja máxima.
Conteúdo: otimização com restrição, usando relações entre soma de quadrados e soma de produtos.
Conteúdo: otimização com restrição, usando relações entre soma de quadrados e soma de produtos.
Passo 2
Definimos as variáveis reais
,
e
sujeitas à restrição
e queremos maximizar
Passo 3
Usamos a identidade algébrica
que pode ser reescrita como
Como
é fixo (igual a
), maximizar
é equivalente a minimizar
Passo 4
Pela desigualdade de QM–AM (média quadrática ≥ média aritmética) temos
Como
, o lado direito vale
, logo
A igualdade ocorre se, e somente se,
Passo 5
Portanto o mínimo de
é
, dando o máximo de
Esse valor máximo é atingido quando
Resposta
Os três números são
,
e
.