Escreva o número 120 como a soma de três números tal que a soma dos produtos desses números tomados dois de cada vez é máxima.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número 120 como a soma de três números x, y e z de modo que a expressão
S = xy + yz + zx
seja máxima.
Conteúdo: otimização com restrição, usando relações entre soma de quadrados e soma de produtos.

Passo 2

Definimos as variáveis reais x, y e z sujeitas à restrição
x + y + z = 120
e queremos maximizar
S = xy + yz + zx

Passo 3

Usamos a identidade algébrica
(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2,(xy + yz + zx),
que pode ser reescrita como
S = xy + yz + zx = (x+y+z)^2 - (x^2+y^2+z^2)2
Como (x+y+z)^2 é fixo (igual a 120^2), maximizar S é equivalente a minimizar
x^2 + y^2 + z^2

Passo 4

Pela desigualdade de QM–AM (média quadrática ≥ média aritmética) temos
x^2 + y^2 + z^23 >= l(x+y+z3r)^2
Como x+y+z=120, o lado direito vale l(40r)^2=1600, logo
x^2 + y^2 + z^2 >= 3 times 1600 = 4800
A igualdade ocorre se, e somente se,
x = y = z

Passo 5

Portanto o mínimo de x^2+y^2+z^2 é 4800, dando o máximo de
Smax = 120^2 - 48002 = 14400 - 48002 = 4800
Esse valor máximo é atingido quando
x = y = z = 1203 = 40

Resposta

Os três números são 40, 40 e 40.

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