Escreva o número (2345,5)_{10} em base binária.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número (2345,5)_{10} na base binária.
Informações dadas:
  • O número é em base decimal (base 10): (2345,5)_{10}.
  • Tem parte inteira 2345 e parte fracionária 0,5 (ou seja, meio).
    O objetivo é encontrar a representação em base 2 (binária) correspondente.

Passo 2

Explicação do método para a parte inteira: converter a parte inteira de decimal para binário fazendo divisões sucessivas por 2 e registrando os restos.
Por que isso funciona (explicando devagar): qualquer número inteiro N pode ser escrito em base 2 como
N = b_k 2^k + b_{k-1}2^{k-1} + \cdots + b_1 2 + b_0,
onde cada b_i é 0 ou 1. Quando divide-se N por 2, o resto é exatamente b_0 (o bit menos significativo). Dividindo o quociente por 2 novamente, o próximo resto é b_1, e assim por diante. Por isso, coletando os restos das divisões e lendo-os de trás para frente (do último resto obtido para o primeiro) obtemos os bits do mais significativo ao menos significativo.

Passo 3

Aplicando o método à parte inteira 2345. Vou fazer as divisões por 2 e anotar restos (cada passo mostra o quociente e o resto):
\begin{aligned} 2345 \div 2 &= 1172\\ \text{resto}\\\ 1,\\\\ 1172 \div 2 &= 586\\ \text{resto}\\\ 0,\\\\ 586 \div 2 &= 293\\ \text{resto}\\\ 0,\\\\ 293 \div 2 &= 146\\ \text{resto}\\\ 1,\\\\ 146 \div 2 &= 73\\ \text{resto}\\\ 0,\\\\ 73 \div 2 &= 36\\ \text{resto}\\\ 1,\\\\ 36 \div 2 &= 18\\ \text{resto}\\\ 0,\\\\ 18 \div 2 &= 9\\ \text{resto}\\\ 0,\\\\ 9 \div 2 &= 4\\ \text{resto}\\\ 1,\\\\ 4 \div 2 &= 2\\ \text{resto}\\\ 0,\\\\ 2 \div 2 &= 1\\ \text{resto}\\\ 0,\\\\ 1 \div 2 &= 0\\ \text{resto}\\\ 1. \end{aligned}
Os restos, lidos do último obtido para o primeiro, dão os bits do mais significativo ao menos significativo:
2345_{10} = 1\,0\,0\,1\,0\,0\,1\,0\,1\,0\,0\,1_2.

Passo 4

Verificação rápida da parte inteira (pra garantir que não houve erro): calcular o valor decimal de \,100100101001_2. Os pesos são 2^{11},2^{10},\dots,2^0. Somando apenas os termos com bit 1:
\begin{aligned} 100100101001_2 &= 2^{11}+2^{8}+2^{5}+2^{3}+2^{0}\\\ &= 2048 + 256 + 32 + 8 + 1\\\ &= 2345, \end{aligned}
confirmando que a conversão da parte inteira está correta.

Passo 5

Explicação do método para a parte fracionária: para converter uma parte fracionária f (com 0\le f<1) para base 2, multiplica-se por 2 repetidamente. A parte inteira do produto em cada passo é o próximo bit na expansão binária fracionária; continua-se com a nova parte fracionária (o resto) até obter uma repetição exata ou até a precisão desejada. Em fórmula: se f é a parte fracionária,
f \cdot 2 = b_1 + f_1,\quad 0\le b_1\le 1,
onde b_1 é o primeiro bit fracionário, e f_1 é a nova parte fracionária. Repetir para f_1 para obter b_2, etc.

Passo 6

Aplicando o método à parte fracionária 0,5 (ou seja, f=0{,}5):
0{,}5 \times 2 = 1{,}0.
A parte inteira é 1 e a parte fracionária resultante é 0. Como a parte fracionária ficou 0, a expansão termina imediatamente. Portanto
0{,}5_{10} = 0{,}1_2.
(Dica intuitiva: 0{,}5 é exatamente metade, e em binário 0{,}1_2 representa 1\times 2^{-1} = 0{,}5.)

Passo 7

Combinação da parte inteira e da parte fracionária: juntando 100100101001_2 com 0{,}1_2 obtemos
(2345,5)_{10} = (100100101001,1)_2.

Passo 8

Checagem final (opcional, só para confiança): a parte inteira foi verificada no Passo 4 e a fracionária foi verificada no Passo 6. Assim a representação binária combinada está correta.

Resposta

(100100101001,1)_2

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