Escreva o número
em base binária.
Passo 1
O enunciado pede para escrever o número
na base binária.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O número é em base decimal (base
): . - Tem parte inteira
e parte fracionária (ou seja, meio).
O objetivo é encontrar a representação em base(binária) correspondente.
Passo 2
Explicação do método para a parte inteira: converter a parte inteira de decimal para binário fazendo divisões sucessivas por
e registrando os restos.
Por que isso funciona (explicando devagar): qualquer número inteiro pode ser escrito em base
como
Por que isso funciona (explicando devagar): qualquer número inteiro
onde cada
é
ou
. Quando divide-se
por
, o resto é exatamente
(o bit menos significativo). Dividindo o quociente por
novamente, o próximo resto é
, e assim por diante. Por isso, coletando os restos das divisões e lendo-os de trás para frente (do último resto obtido para o primeiro) obtemos os bits do mais significativo ao menos significativo.
Passo 3
Aplicando o método à parte inteira
. Vou fazer as divisões por
e anotar restos (cada passo mostra o quociente e o resto):
Os restos, lidos do último obtido para o primeiro, dão os bits do mais significativo ao menos significativo:
Passo 4
Verificação rápida da parte inteira (pra garantir que não houve erro): calcular o valor decimal de
. Os pesos são
. Somando apenas os termos com bit
:
confirmando que a conversão da parte inteira está correta.
Passo 5
Explicação do método para a parte fracionária: para converter uma parte fracionária
(com
) para base
, multiplica-se por
repetidamente. A parte inteira do produto em cada passo é o próximo bit na expansão binária fracionária; continua-se com a nova parte fracionária (o resto) até obter uma repetição exata ou até a precisão desejada. Em fórmula: se
é a parte fracionária,
onde
é o primeiro bit fracionário, e
é a nova parte fracionária. Repetir para
para obter
, etc.
Passo 6
Aplicando o método à parte fracionária
(ou seja,
):
A parte inteira é
e a parte fracionária resultante é
. Como a parte fracionária ficou
, a expansão termina imediatamente. Portanto
(Dica intuitiva:
é exatamente metade, e em binário
representa
.)
Passo 7
Combinação da parte inteira e da parte fracionária: juntando
com
obtemos
Passo 8
Checagem final (opcional, só para confiança): a parte inteira foi verificada no Passo 4 e a fracionária foi verificada no Passo 6. Assim a representação binária combinada está correta.