A função “raiz quadrada”, presente na maioria das calculadoras convencionais pode ser facilmente programada usando o método de Newton-Raphson. De forma genérica, para encontrar \sqrt{\mathrm{n}}, basta usar a função f(x)=x^{2}-\mathrm{n} com x_{0}=1 Como exemplo, se o objetivo for encontrar o valor de \sqrt{8}, usamos a função f(x)=x^{2}-8 e x_{0}=1. Mesmo o “chute inicial” não estando tão próximo da solução, o método tende a convergir de forma rápida. Sabendo disso, faça 4 iterações e encontre x_{4} como aproximação para \sqrt{8}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já foi dado:
  • Pede: aplicar 4 iterações do método de Newton-Raphson para aproximar \sqrt{8} e informar x_{4}.
  • Dados:
    • Vamos usar a função \,f(x)=x^{2}-8\,.
    • Chute inicial: \,x_{0}=1\,.
  • Objetivo concreto: calcular sequencialmente \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\, pela regra do método e retornar \,x_{4}\,.

Passo 2

Explicando a fórmula do método (passo-a-passo, sem pressa):
  • Regra geral do método de Newton-Raphson: para uma função \,f(x)\, com derivada não nula, a iteração é
x_{k+1}=x_{k}-\frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}.
Aqui:
  • \,x_{k}\, é o chute atual;
  • \,x_{k+1}\, é o próximo chute;
  • \,f'(x)\, é a derivada de \,f\,.
  • Aplicando ao nosso caso \,f(x)=x^{2}-8\,: a derivada é \,f'(x)=2x\,. Substituindo na fórmula:
x_{k+1}=x_{k}-\frac{x_{k}^{2}-8}{2x_{k}} =\frac{2x_{k}^{2}-(x_{k}^{2}-8)}{2x_{k}} =\frac{x_{k}^{2}+8}{2x_{k}} =\frac{x_{k}+\dfrac{8}{x_{k}}}{2}.
  • Interpretação simples: cada novo chute é a média aritmética entre o chute atual e 8 dividido pelo chute atual: \,x_{k+1}=\dfrac{x_{k}+8/x_{k}}{2}. Isso costuma “puxar” o chute para mais perto da raiz rapidamente.

Passo 3

Cálculo de \,x_{1}:
Usando a fórmula com \,x_{0}=1,
x_{1}=\frac{x_{0}+\dfrac{8}{x_{0}}}{2} =\frac{1+\dfrac{8}{1}}{2} =\frac{1+8}{2} =\frac{9}{2}.
Em forma decimal:
x_{1}=\frac{9}{2}=4,5.

Passo 4

Cálculo de \,x_{2}:
Usando \,x_{1}=\dfrac{9}{2},
x_{2}=\frac{\dfrac{9}{2}+\dfrac{8}{9/2}}{2} =\frac{\dfrac{9}{2}+\dfrac{16}{9}}{2}.
Fazendo soma com denominador comum 18:
\dfrac{9}{2}=\dfrac{81}{18},\qquad \dfrac{16}{9}=\dfrac{32}{18},
logo
\frac{81+32}{18}=\frac{113}{18}.
Dividindo por 2:
x_{2}=\frac{113}{36}.
Decimal aproximado:
x_{2}=\frac{113}{36}\approx 3,1388888889.

Passo 5

Cálculo de \,x_{3}:
Usando \,x_{2}=\dfrac{113}{36},
x_{3}=\frac{\dfrac{113}{36}+\dfrac{8}{113/36}}{2} =\frac{\dfrac{113}{36}+\dfrac{288}{113}}{2}.
Somando com denominador comum 4068 (que é 36\cdot113):
\dfrac{113}{36}=\dfrac{12769}{4068},\qquad \dfrac{288}{113}=\dfrac{10368}{4068},
logo a soma é \dfrac{23137}{4068} e dividindo por 2 resulta
x_{3}=\frac{23137}{8136}.
Decimal aproximado (longa divisão ou calculando a fração):
x_{3}=\frac{23137}{8136}\approx 2,8437807276.

Passo 6

Cálculo de \,x_{4}:
Usando \,x_{3}=\dfrac{23137}{8136},
x_{4}=\frac{\dfrac{23137}{8136}+\dfrac{8}{23137/8136}}{2} =\frac{\dfrac{23137}{8136}+\dfrac{65088}{23137}}{2}.
Colocando em denominador comum 8136\cdot23137=188242632 e somando numeradores obtemos
x_{4}=\frac{1064876737}{376485264}.
Decimal aproximado (divisão longa da fração):
x_{4}=\frac{1064876737}{376485264}\approx 2,8284685718.
Observação final (didática e encorajadora): já na quarta iteração o valor está muito próximo de \sqrt{8} (o valor exato de \sqrt{8} é 2,8284271247\ldots); o método converge rápido porque a iteração basicamente corrige o chute usando a média com 8/x.

Resposta

\displaystyle x_{4}=\frac{1064876737}{376485264}\approx 2,8284685718

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