A função “raiz quadrada”, presente na maioria das calculadoras convencionais pode ser facilmente programada usando o método de Newton-Raphson. De forma genérica, para encontrar
, basta usar a função
com
Como exemplo, se o objetivo for encontrar o valor de
, usamos a função
e
. Mesmo o “chute inicial” não estando tão próximo da solução, o método tende a convergir de forma rápida. Sabendo disso, faça 4 iterações e encontre
como aproximação para
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que já foi dado:
- Pede: aplicar 4 iterações do método de Newton-Raphson para aproximar
e informar . - Dados:
- Vamos usar a função
. - Chute inicial:
.
- Vamos usar a função
- Objetivo concreto: calcular sequencialmente
pela regra do método e retornar .
Passo 2
Explicando a fórmula do método (passo-a-passo, sem pressa):
- Regra geral do método de Newton-Raphson: para uma função
com derivada não nula, a iteração é
Aqui:
-
é o chute atual; -
é o próximo chute; -
é a derivada de . -
Aplicando ao nosso caso
: a derivada é . Substituindo na fórmula:
- Interpretação simples: cada novo chute é a média aritmética entre o chute atual e
dividido pelo chute atual: . Isso costuma “puxar” o chute para mais perto da raiz rapidamente.
Passo 3
Cálculo de
:
Usando a fórmula com
,
Em forma decimal:
Passo 4
Cálculo de
:
Usando
,
Fazendo soma com denominador comum
:
logo
Dividindo por
:
Decimal aproximado:
Passo 5
Cálculo de
:
Usando
,
Somando com denominador comum
(que é
):
logo a soma é
e dividindo por
resulta
Decimal aproximado (longa divisão ou calculando a fração):
Passo 6
Cálculo de
:
Usando
,
Colocando em denominador comum
e somando numeradores obtemos
Decimal aproximado (divisão longa da fração):
Observação final (didática e encorajadora): já na quarta iteração o valor está muito próximo de
(o valor exato de
é
); o método converge rápido porque a iteração basicamente corrige o chute usando a média com
.