Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
Nas afirmativas abaixo, A, B e C são matrizes de ordens apropriadas para as operações indicadas.
( ) Se A C=B C e C é inversível, então A=B.

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
A C = B C
e diz que C é inversível. A pergunta é: a afirmação "se A C = B C e C é inversível, então A=B" é verdadeira ou falsa?
Informações relevantes fornecidas:
  • C é uma matriz inversível (logo quadrada e com inversa C^{-1}).
  • As matrizes A e B têm ordem compatível com C para que os produtos AC e BC estejam definidos.

Passo 2

O que significa " C é inversível"?
Significa que existe uma matriz C^{-1} tal que
C C^{-1}=I \qquad\text{e}\qquad C^{-1}C=I,
onde I é a matriz identidade da ordem de C. Isso permite “cancelar” C ao multiplicar por C^{-1}, desde que a multiplicação seja feita do lado correto (esquerda ou direita) e as dimensões permitam.

Passo 3

Usar a propriedade da inversa para manipular a igualdade dada. Partimos de
A C = B C.
Como C é inversível, podemos multiplicar ambos os lados à direita por C^{-1}. Pela associatividade da multiplicação de matrizes, temos:
( A C ) C^{-1} = ( B C ) C^{-1}.
Agrupando os fatores:
A (C C^{-1}) = B (C C^{-1}).
Como C C^{-1}=I, isso fica
A I = B I.
E multiplicar por I não altera a matriz:
A = B.

Passo 4

Verificação das dimensões e da legalidade das operações (para você não tropeçar nisso na prova). Se C é n\times n e A, B são m\times n, então AC e BC são m\times n. A inversa C^{-1} é n\times n, então multiplicar à direita por C^{-1} é permitido e resulta em matrizes m\times n. Assim todas as igualdades acima são bem definidas.

Passo 5

Por que a hipótese " C inversível" é necessária? Dou um contraexemplo simples quando C não é inversível. Seja C a matriz zero 2\times2:
C = \begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Escolha, por exemplo,
A = \begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix},\qquad B = \begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Então
A C = \begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix} = B C,
mas claramente A\neq B. Esse exemplo mostra que, sem inversibilidade de C, a conclusão A=B pode falhar.]

Resposta

Verdadeiro.

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