Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
Nas afirmativas abaixo,
e
são matrizes de ordens apropriadas para as operações indicadas.
( ) Se
e
é inversível, então
.
( ) Se
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
e diz que
é inversível. A pergunta é: a afirmação "se
e
é inversível, então
" é verdadeira ou falsa?
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
é uma matriz inversível (logo quadrada e com inversa ). - As matrizes
e têm ordem compatível com para que os produtos e estejam definidos.
Passo 2
O que significa "
é inversível"?
Significa que existe uma matriz tal que
Significa que existe uma matriz
onde
é a matriz identidade da ordem de
. Isso permite “cancelar”
ao multiplicar por
, desde que a multiplicação seja feita do lado correto (esquerda ou direita) e as dimensões permitam.
Passo 3
Usar a propriedade da inversa para manipular a igualdade dada. Partimos de
Como
é inversível, podemos multiplicar ambos os lados à direita por
. Pela associatividade da multiplicação de matrizes, temos:
Agrupando os fatores:
Como
, isso fica
E multiplicar por
não altera a matriz:
Passo 4
Verificação das dimensões e da legalidade das operações (para você não tropeçar nisso na prova). Se
é
e
,
são
, então
e
são
. A inversa
é
, então multiplicar à direita por
é permitido e resulta em matrizes
. Assim todas as igualdades acima são bem definidas.
Passo 5
Por que a hipótese "
inversível" é necessária? Dou um contraexemplo simples quando
não é inversível. Seja
a matriz zero
:
Escolha, por exemplo,
Então
mas claramente
. Esse exemplo mostra que, sem inversibilidade de
, a conclusão
pode falhar.]
Resposta
Verdadeiro.