Escreva o número na forma polar com o argumento entre 0 e 2 pi.
1-raiz3 i

Passo 1

O exercício pede para escrever o número complexo 1−√3 i na forma polar, ou seja, encontrar o módulo r e o argumento θ (entre 0 e 2π). Vamos usar teoria de números complexos em coordenadas polares.

Passo 2

O módulo r de um número complexo a+bi é dado por r=√(a²+b²). Aqui a=1 e b=−√3, então
r=raiz1^2+(-raiz3)^2=raiz1+3=2

Passo 3

O argumento θ satisfaz tan θ = b/a = (−√3)/1 = −√3. A solução principal de tan θ=−√3 é θ=−π/3, mas precisamos de um ângulo entre 0 e 2π. Como a>0 e b<0, o ponto está no quarto quadrante. Então
θ=2π−π3=5π3

Passo 4

Com r=2 e θ=5π/3, a forma polar fica
2l(costfrac5π3+isintfrac5π3r)
Opcionalmente, podemos usar a forma exponencial: 2e^{i5π/3}.

Resposta

2(\cos(5π/3)+i\sin(5π/3))

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