Considere a hélice
. O helicóide
que contém
é a superfície obtida juntando, a cada ponto
de
, a reta que une
ao ponto de mesma altura no eixo da hélice (neste caso, o eixo dos
); isto é, o helicóide é a união destas retas.
Calcule a área da rampa helicoidal obtida como o pedaço do helicóide
para
,
Você precisará da seguinte integral:
.
Calcule a área da rampa helicoidal obtida como o pedaço do helicóide
Você precisará da seguinte integral:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que que a pergunta está pedindo. Temos uma hélice $ C = {(\cos t, \sin t, t), t \in \mathbb{R}} $, que é basicamente uma curva que dá uma volta no eixo $ z $ enquanto sobe. O helicóide $ X $ é a superfície que formamos conectando cada ponto da hélice $ C $ a um ponto do eixo $ z $ que está na mesma altura.
Para resolver isso, precisamos calcular a área de uma parte específica desse helicóide, onde os parâmetros $ u $ vão de 0 a 1 e $ v $ vão de 0 a $ \pi $. Vamos precisar usar cálculo, mais especificamente cálculo de superfícies paramétricas e integração.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar o helicóide $ X $ de forma paramétrica. Sabemos que cada ponto na hélice $ C $ é dado por $ (\cos t, \sin t, t) $. Para formar o helicóide, conectamos cada ponto dessa hélice a um ponto no eixo $ z $ na mesma altura, que é $ (\cos t, \sin t, t) $ a $ (0, 0, t) $.
Então, podemos parametrizar o helicóide $ X(u, v) $ onde $ u $ controla a direção da reta que liga os dois pontos. Assim, a parametrização fica:
Simplificando essa expressão:
Passo 3
Agora, para calcular a área dessa superfície parametrizada, usamos a fórmula da área para superfícies paramétricas:
Onde $ X_u $ e $ X_v $ são as derivadas parciais de $ X $ em relação a $ u $ e $ v $, respectivamente, e $ \times $ representa o produto vetorial.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais $ X_u $ e $ X_v $:
Passo 5
Agora, calculamos o produto vetorial $ X_u \times X_v $:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Usando a identidade trigonométrica $ \cos^2 v + \sin^2 v = 1 $:
Passo 6
Agora, calculamos a norma desse vetor:
Novamente, usando $ \sin^2 v + \cos^2 v = 1 $:
Passo 7
Agora, temos tudo o que precisamos para calcular a área:
Como a expressão $ \sqrt{1 + u^2} $ não depende de $ v $, podemos integrar em relação a $ v $ primeiro:
Passo 8
Agora, precisamos resolver a integral $ \int \sqrt{1 + u^2} , du $. A integral fornecida é:
Substituindo $ u $ por $ t $, temos:
Passo 9
Vamos calcular os limites da integral:
Para $ u = 1 $:
Para $ u = 0 $:
Então, a integral fica:
Passo 10
Agora, multiplicamos pelo $ \pi $ que estava fora da integral:
Resposta
A área da rampa helicoidal é $ \frac{\pi \sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{2} \ln \left(1 + \sqrt{2}\right) $.