Considere a hélice C=(cos t, sen t, t), t in R. O helicóide X que contém C é a superfície obtida juntando, a cada ponto P de C, a reta que une P ao ponto de mesma altura no eixo da hélice (neste caso, o eixo dos z ); isto é, o helicóide é a união destas retas.
Calcule a área da rampa helicoidal obtida como o pedaço do helicóide X para 0 <= u <= 1,0 <= v <= pi,
Você precisará da seguinte integral: integral raiz1+t^2 d t=12 t raiz1+t^2+12 ln (t+raiz1+t^2)+C.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que que a pergunta está pedindo. Temos uma hélice $ C = {(\cos t, \sin t, t), t \in \mathbb{R}} $, que é basicamente uma curva que dá uma volta no eixo $ z $ enquanto sobe. O helicóide $ X $ é a superfície que formamos conectando cada ponto da hélice $ C $ a um ponto do eixo $ z $ que está na mesma altura.
Para resolver isso, precisamos calcular a área de uma parte específica desse helicóide, onde os parâmetros $ u $ vão de 0 a 1 e $ v $ vão de 0 a $ \pi $. Vamos precisar usar cálculo, mais especificamente cálculo de superfícies paramétricas e integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar o helicóide $ X $ de forma paramétrica. Sabemos que cada ponto na hélice $ C $ é dado por $ (\cos t, \sin t, t) $. Para formar o helicóide, conectamos cada ponto dessa hélice a um ponto no eixo $ z $ na mesma altura, que é $ (\cos t, \sin t, t) $ a $ (0, 0, t) $.
Então, podemos parametrizar o helicóide $ X(u, v) $ onde $ u $ controla a direção da reta que liga os dois pontos. Assim, a parametrização fica:
X
Simplificando essa expressão:
C

Passo 3

Agora, para calcular a área dessa superfície parametrizada, usamos a fórmula da área para superfícies paramétricas:
Área = integral duplaD | Xu times Xv | , du , dv Á
Onde $ X_u $ e $ X_v $ são as derivadas parciais de $ X $ em relação a $ u $ e $ v $, respectivamente, e $ \times $ representa o produto vetorial.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais $ X_u $ e $ X_v $:
Xu
Xv

Passo 5

Agora, calculamos o produto vetorial $ X_u \times X_v $:
Xu times Xv
Calculando o determinante:
Xu times Xv = i & j & k cos v & sin v & 0 - u sin v & u cos v & 1
Simplificando:
Xu times Xv = (sin v cdot 1 - 0 cdot u cos v) i - (cos v cdot 1 - 0 cdot (-u sin v)) j + (cos v cdot u cos v - sin v cdot (-u sin v)) k
Usando a identidade trigonométrica $ \cos^2 v + \sin^2 v = 1 $:
Xu times Xv = (sin v) i - (cos v) j + (u cos^2 v + u sin^2 v) k

Passo 6

Agora, calculamos a norma desse vetor:
| Xu times Xv | = raiz(sin v)^2 + (-cos v)^2 + u^2 = raizsin^2 v + cos^2 v + u^2
Novamente, usando $ \sin^2 v + \cos^2 v = 1 $:
sin^2 v + cos^2 v = 1

Passo 7

Agora, temos tudo o que precisamos para calcular a área:
Área = integralu=0^1 integralv=0^pi raiz1 + u^2 , dv , du Á
Como a expressão $ \sqrt{1 + u^2} $ não depende de $ v $, podemos integrar em relação a $ v $ primeiro:
raiz1 + u^2 Á

Passo 8

Agora, precisamos resolver a integral $ \int \sqrt{1 + u^2} , du $. A integral fornecida é:
integral raiz1 + u^2 , du
Substituindo $ u $ por $ t $, temos:
integral raiz1 + t^2 , dt = 12 t raiz1 + t^2 + 12 ln ( t + raiz1 + t^2 ) + C

Passo 9

Vamos calcular os limites da integral:
Para $ u = 1 $:
u = 1
Para $ u = 0 $:
12 cdot 1 cdot raiz1 + 1^2 + 12 ln ( 1 + raiz1 + 1^2 ) = 12 cdot raiz2 + 12 ln ( 1 + raiz2 )
Então, a integral fica:
u = 0

Passo 10

Agora, multiplicamos pelo $ \pi $ que estava fora da integral:
pi Á

Resposta

A área da rampa helicoidal é $ \frac{\pi \sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{2} \ln \left(1 + \sqrt{2}\right) $.

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