Escreva os números complexos na forma polar.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos o número complexo $ z = -2 + 2i $ e queremos escrevê-lo na forma polar. Para isso, vamos precisar entender sobre números complexos, especificamente como transformar a forma retangular $ a + bi $ para a forma polar, que é baseada no módulo e no argumento do número.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o módulo de $ z $. O módulo de um número complexo $ z = a + bi $ é a distância do ponto $ (a, b) $ até a origem no plano complexo, e é calculado pela fórmula:
No nosso caso, $ a = -2 $ e $ b = 2 $.
Passo 3
Vamos aplicar os valores na fórmula do módulo:
Então, o módulo de $ z $ é $ 2\sqrt{2} $.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o argumento de $ z $, que é o ângulo $ \theta $ que o número complexo faz com o eixo real positivo. A fórmula para o argumento é:
Substituindo $ a = -2 $ e $ b = 2 $:
Passo 5
O valor de $ \arctan(-1) $ é $ -\frac{\pi}{4} $. Porém, como $ z $ está no segundo quadrante (a parte real é negativa e a imaginária é positiva), precisamos ajustar o ângulo adicionando $ \pi $:
Resposta
Assim, a forma polar de $ z = -2 + 2i $ é: