Utilize transformadas de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial:
y^prime-3 y=e^2 x ; y(0)=2

Passo 1

O problema pede resolver a equação diferencial de primeira ordem y' - 3y = e^2x sujeita à condição inicial y(0)=2. O conteúdo aqui é o uso de transformadas de Laplace, especialmente a transformada da derivada e de funções exponenciais.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que Ly'(x) = sY(s) - y(0) e Le^2x = 1/(s-2), temos:
sY(s) - 2 - 3Y(s) = 1s-2.

Passo 3

Isolamos Y(s):
(s - 3)Y(s) = 1s-2 + 2
portanto
Y(s) = 1/(s-2) + 2s-3.

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais. Primeiro note que
1(s-2)(s-3) = -1s-2 + 1s-3.
Então
Y(s) = -1s-2 + 1s-3 + 2s-3 = -1s-2 + 3s-3.

Passo 5

Aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo:
L^-1-1/(s-2) = -e^2x e L^-13/(s-3) = 3e^3x.
Logo
y(x) = -e^2x + 3e^3x.

Resposta

y(x) = 3e^3x - e^2x

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