Escreva os números quânticos para todos os estados do átomo de hidrogênio que pertencem à subcamada para a qual n=4 e l=3.

Passo 1

O enunciado dá a subcamada com n=4 e l=3 e pede: “Escreva os números quânticos para todos os estados do átomo de hidrogênio que pertencem a essa subcamada.”
Informações relevantes fornecidas: n=4 e l=3.
O que se pede: listar, para cada estado dessa subcamada, os quatro números quânticos: n, l, m_l e m_s.

Passo 2

Vamos lembrar o que cada número quântico significa e quais são os valores permitidos (é uma mini-aula rápida e prática, como na prova):
  • n: número quântico principal — determina a camada (energia aproximada). Permite valores inteiros positivos: n=1,2,3,\dots. Aqui já temos \,n=4.
  • l: número quântico azimutal (ou de momento angular orbital) — determina a subcamada (s, p, d, f, …). Permite valores inteiros de 0 até n-1: isto é, l\in\{0,1,\dots,n-1\}. No nosso caso foi dado \,l=3.
  • m_l: número quântico magnético — corresponde à projeção do momento angular orbital no eixo z. Permite valores inteiros de -l até +l: m_l \in \{-l,\,-l+1,\dots,0,\dots,l-1,\,l\}.
  • m_s: número quântico de spin — descreve a orientação do spin do elétron. Para um elétron, os únicos valores permitidos são \,m_s=+\tfrac{1}{2} ou \,m_s=-\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Verificação rápida: como n=4, valores possíveis de l seriam 0,1,2,3. O enunciado especificou l=3, que é válido (é a subcamada f). Portanto seguimos com n=4 e l=3.

Passo 4

Agora aplicamos a regra para m_l. Com l=3 temos:
m_l \in \{-3,-2,-1,0,1,2,3\}.
Isso dá (2l+1)=2\cdot3+1=7 valores distintos de m_l.

Passo 5

Para cada valor de m_l existem dois possíveis valores de spin:
m_s \in \left\{+\tfrac{1}{2},\;-\tfrac{1}{2}\right\}.
Logo, cada orbital (cada m_l) comporta dois estados de spin.

Passo 6

Contagem total de estados na subcamada: número de m_l vezes número de m_s. Fórmula:
\text{número de estados} = (2l+1)\times 2 = 2(2l+1).ú
Substituindo l=3:
2(2\cdot3+1)=2\cdot7=14.
Portanto devemos listar 14 estados.

Passo 7

Como montar as combinações: para cada m_l da lista \{-3,-2,-1,0,1,2,3\} combinamos com m_s=+\tfrac{1}{2} e com m_s=-\tfrac{1}{2}. Seguindo essa ordem fica fácil conferir na prova (vai do m_l=-3 até m_l=+3, e para cada m_l os dois spins).

Resposta

n=4,\; l=3,\; m_l=-3,\; m_s=+\tfrac{1}{2}
n=4,\; l=3,\; m_l=-3,\; m_s=-\tfrac{1}{2}
n=4,\; l=3,\; m_l=-2,\; m_s=+\tfrac{1}{2}
n=4,\; l=3,\; m_l=-2,\; m_s=-\tfrac{1}{2}
n=4,\; l=3,\; m_l=-1,\; m_s=+\tfrac{1}{2}
n=4,\; l=3,\; m_l=-1,\; m_s=-\tfrac{1}{2}
n=4,\; l=3,\; m_l=0,\; m_s=+\tfrac{1}{2}
n=4,\; l=3,\; m_l=0,\; m_s=-\tfrac{1}{2}
n=4,\; l=3,\; m_l=1,\; m_s=+\tfrac{1}{2}
n=4,\; l=3,\; m_l=1,\; m_s=-\tfrac{1}{2}
n=4,\; l=3,\; m_l=2,\; m_s=+\tfrac{1}{2}
n=4,\; l=3,\; m_l=2,\; m_s=-\tfrac{1}{2}
n=4,\; l=3,\; m_l=3,\; m_s=+\tfrac{1}{2}
n=4,\; l=3,\; m_l=3,\; m_s=-\tfrac{1}{2}

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