Para um átomo de hidrogênio no estado n=2 e l=0, calcule a probabilidade de se achar o elétron entre duas esferas de raios r=5,00 a_{0} e r=5,01 a_{0}.

Passo 1

O enunciado dá o estado do elétron no átomo de hidrogênio com números quânticos n=2 e l=0, e pede a probabilidade de encontrar o elétron entre as duas esferas de raios r=5{,}00\,a_0 e r=5{,}01\,a_0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
r_1 = 5{,}00\,a_0,\qquad r_2 = 5{,}01\,a_0,\qquad \Delta r = r_2-r_1 = 0{,}01\,a_0.
O que devemos calcular: a probabilidade
P=\int_{r_1}^{r_2} |\Psi_{2,0,0}(r,\theta,\varphi)|^2\,dV,
ou, de forma prática para uma casca fina, a probabilidade aproximada \approx densidade radial em r_1 vezes \Delta r.

Passo 2

Relembrando a forma da função de onda do hidrogênio e como se obtém a densidade radial (aula rápida e prática). A função de onda separa-se em radial e angular:
\Psi_{n,l,m}(r,\theta,\varphi)=R_{n,l}(r)\,Y_{l,m}(\theta,\varphi).
A densidade de probabilidade em coordenadas esféricas é |\Psi|^2 dV = |R_{n,l}(r)|^2 |Y_{l,m}|^2 r^2 \sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi. Integrando sobre os ângulos (já que queremos probabilidade entre esferas concêntricas, independentemente de direção), usamos a normalização de Y_{l,m}:
\int |Y_{l,m}|^2 d\Omega = 1,
logo a densidade radial (probabilidade por unidade de comprimento radial) é
P_{\text{rad}}(r) = r^2 |R_{n,l}(r)|^2,
e a probabilidade numa casca radial fina [r,r+\Delta r] é aproximadamente
\Delta P \approx P_{\text{rad}}(r)\,\Delta r.
Essa aproximação é o uso da regra do ponto médio / teorema do valor médio para integrais quando \Delta r é pequeno — aqui \Delta r=0{,}01\,a_0 é bem pequeno comparado à escala a_0.

Passo 3

Agora a parte específica para n=2,l=0 (estado 2s). A função radial normalizada R_{2,0}(r) do átomo de hidrogênio (em termos de a_0) é
R_{2,0}(r)=\frac{1}{2\sqrt{2}\,a_0^{3/2}}\left(2-\frac{r}{a_0}\right)e^{-r/(2a_0)}.
Explicando rapidamente de onde vem: é a forma padrão obtida das funções de Laguerre associadas para n=2,l=0; o fator \frac{1}{2\sqrt{2}\,a_0^{3/2}} é a constante de normalização (determinada impondo \int_0^\infty |R|^2 r^2 dr=1). Não precisamos refazer toda a normalização aqui, apenas usar a forma conhecida e normalizada.

Passo 4

Calculamos o quadrado do módulo de R_{2,0} em r=5{,}00\,a_0. Defina \rho=\dfrac{r}{a_0}. Em \rho=5 temos
R_{2,0}(r)=\frac{1}{2\sqrt{2}\,a_0^{3/2}}\bigl(2-\rho\bigr)e^{-\rho/2} =\frac{1}{2\sqrt{2}\,a_0^{3/2}}(2-5)e^{-5/2} =\frac{-3}{2\sqrt{2}\,a_0^{3/2}}e^{-5/2}.
Ao quadrado (módulo ao quadrado):
|R_{2,0}(r)|^2=\frac{9}{8\,a_0^{3}}e^{-5}.
Expliquei: \bigl(\tfrac{1}{2\sqrt{2}}\bigr)^2=\tfrac{1}{8}, (2-5)^2=9 e e^{-5/2}^2 = e^{-5}.

Passo 5

Agora a densidade radial em r=5{,}00\,a_0 é
P_{\text{rad}}(r)=r^2|R_{2,0}(r)|^2.
Substituindo r=5\,a_0 e o valor de |R|^2:
P_{\text{rad}}(5a_0)= (5a_0)^2\cdot\frac{9}{8\,a_0^{3}}e^{-5} =\frac{9}{8}\cdot\frac{25\,a_0^2}{a_0^3}e^{-5} =\frac{225}{8}\,e^{-5}\cdot\frac{1}{a_0}.
Portanto a densidade radial tem unidade 1/a_0 e o fator numérico é
\frac{225}{8}\,e^{-5}.

Passo 6

Vamos avaliar numericamente. Usamos e^{-5}\approx 0{,}006737947. Então
\frac{225}{8}=28{,}125,
e
P_{\text{rad}}(5a_0)\approx 28{,}125\times 0{,}006737947\cdot\frac{1}{a_0}\approx 0{,}18950476\cdot\frac{1}{a_0}.

Passo 7

Agora multiplicamos pela espessura da casca \Delta r=0{,}01\,a_0 para obter a probabilidade aproximada:
P\approx P_{\text{rad}}(5a_0)\,\Delta r \approx 0{,}18950476\cdot\frac{1}{a_0}\times 0{,}01\,a_0 \approx 0{,}0018950476.
Arredondando razoavelmente (duas casas significativas relevantes para essa aproximação):
P\approx 1{,}90\times 10^{-3}.

Passo 8

Comentário sobre a precisão: poderíamos integrar exatamente
P=\frac{9}{8}\int_{\rho=5}^{5{,}01}\rho^2(2-\rho)^2 e^{-\rho}d\rho,
que é a forma exata em termos de \rho=r/a_0. Como a integranda varia suavemente na pequena faixa [5,5{,}01], a aproximação por valor pontual (produto da densidade radial em \rho=5 por \Delta\rho=0{,}01) tem erro desprezível às casas que estamos reportando. Portanto o resultado acima é confiável para propósito de prova.

Resposta

P\approx 1{,}90\times10^{-3}

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