Para um átomo de hidrogênio no estado
e
, calcule a probabilidade de se achar o elétron entre duas esferas de raios
e
.
Passo 1
O enunciado dá o estado do elétron no átomo de hidrogênio com números quânticos
e
, e pede a probabilidade de encontrar o elétron entre as duas esferas de raios
e
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O que devemos calcular: a probabilidade
ou, de forma prática para uma casca fina, a probabilidade aproximada
densidade radial em
vezes
.
Passo 2
Relembrando a forma da função de onda do hidrogênio e como se obtém a densidade radial (aula rápida e prática). A função de onda separa-se em radial e angular:
A densidade de probabilidade em coordenadas esféricas é
. Integrando sobre os ângulos (já que queremos probabilidade entre esferas concêntricas, independentemente de direção), usamos a normalização de
:
logo a densidade radial (probabilidade por unidade de comprimento radial) é
e a probabilidade numa casca radial fina
é aproximadamente
Essa aproximação é o uso da regra do ponto médio / teorema do valor médio para integrais quando
é pequeno — aqui
é bem pequeno comparado à escala
.
Passo 3
Agora a parte específica para
(estado 2s). A função radial normalizada
do átomo de hidrogênio (em termos de
) é
Explicando rapidamente de onde vem: é a forma padrão obtida das funções de Laguerre associadas para
; o fator
é a constante de normalização (determinada impondo
). Não precisamos refazer toda a normalização aqui, apenas usar a forma conhecida e normalizada.
Passo 4
Calculamos o quadrado do módulo de
em
. Defina
. Em
temos
Ao quadrado (módulo ao quadrado):
Expliquei:
,
e
^2 =
.
Passo 5
Agora a densidade radial em
é
Substituindo
e o valor de
:
Portanto a densidade radial tem unidade
e o fator numérico é
Passo 6
Vamos avaliar numericamente. Usamos
. Então
e
Passo 7
Agora multiplicamos pela espessura da casca
para obter a probabilidade aproximada:
Arredondando razoavelmente (duas casas significativas relevantes para essa aproximação):
Passo 8
Comentário sobre a precisão: poderíamos integrar exatamente
que é a forma exata em termos de
. Como a integranda varia suavemente na pequena faixa
, a aproximação por valor pontual (produto da densidade radial em
por
) tem erro desprezível às casas que estamos reportando. Portanto o resultado acima é confiável para propósito de prova.