Utilizando-se a Eq. 47-38, mostre que, para o átomo de hidrogênio no estado n=2 e l=1,
\int_{0}^{\infty} P(r) d r=1 .
Qual é a interpretação física deste resultado?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) mostrar que, para o átomo de hidrogênio no estado n=2 e l=1,
\int_{0}^{\infty} P(r)\,dr = 1,
e (ii) dar a interpretação física desse resultado. As informações relevantes fornecidas (pela Eq. 47-38, conforme solicitado) são a expressão da parte radial normalizada da função de onda para o estado 2p. Usarei a forma padrão conhecida para R_{21}(r), que é a que a Eq. 47-38 fornece:
R_{21}(r)=\frac{1}{2\sqrt{6}\,a_0^{3/2}}\;\frac{r}{a_0}\;e^{-r/(2a_0)},
onde a_0 é o raio de Bohr. Também usamos a definição do densidade radial de probabilidade
P(r)=r^{2}\,|R_{21}(r)|^{2},
e o objetivo é integrar P(r) de 0 a \infty. Não há mais informações externas necessárias.

Passo 2

Vamos entender o que significa P(r) e por que devemos integrar isso. Em coordenadas esféricas a função de onda estacionária separa-se em parte radial R_{nl}(r) e parte angular Y_{lm}(\theta,\varphi). A densidade de probabilidade total é |\psi|^{2}=|R_{nl}(r)|^{2}\,|Y_{lm}(\theta,\varphi)|^{2}. Ao integrar sobre as duas variáveis angulares (que estão normalizadas), resta a integral radial com o fator jacobiano r^{2}. Por isso definimos a densidade radial
P(r)=r^{2}\,|R_{nl}(r)|^{2},
que tem a interpretação de densidade de probabilidade por unidade de r (isto é, P(r)\,dr é a probabilidade de encontrar o elétron entre r e r+dr, independentemente da direção). A normalização total do elétron implica
\int_{0}^{\infty} P(r)\,dr = 1.
Nos passos seguintes vamos calcular explicitamente essa integral para R_{21}(r) e mostrar que é igual a 1.

Passo 3

Escrevo R_{21}(r) novamente e explico cada fator:
R_{21}(r)=\frac{1}{2\sqrt{6}\,a_0^{3/2}}\;\frac{r}{a_0}\;e^{-r/(2a_0)}.
  • O fator \dfrac{1}{2\sqrt{6}\,a_0^{3/2}} é a constante de normalização (vem da normalização da parte radial e angular).
  • O fator \dfrac{r}{a_0} é a dependência radial polinomial para l=1.
  • O fator e^{-r/(2a_0)} é a decaimento exponencial característico do estado com n=2.
Agora calculemos |R_{21}(r)|^{2} e, em seguida, P(r)=r^{2}|R_{21}(r)|^{2}.

Passo 4

Calcule |R_{21}(r)|^{2}. Como R_{21} é real aqui,
|R_{21}(r)|^{2}=\left(\frac{1}{2\sqrt{6}\,a_0^{3/2}}\right)^{2}\left(\frac{r}{a_0}\right)^{2}e^{-r/a_0}.
Simplificando o coeficiente ao quadrado:
\left(\frac{1}{2\sqrt{6}\,a_0^{3/2}}\right)^{2}=\frac{1}{4\cdot 6\,a_0^{3}}=\frac{1}{24\,a_0^{3}}.
Portanto
|R_{21}(r)|^{2}=\frac{1}{24\,a_0^{3}}\;\frac{r^{2}}{a_0^{2}}\;e^{-r/a_0}.
Agora P(r)=r^{2}|R_{21}(r)|^{2}
P(r)=\frac{1}{24\,a_0^{3}}\;\frac{r^{4}}{a_0^{2}}\;e^{-r/a_0}=\frac{1}{24}\,\frac{r^{4}}{a_0^{5}}\,e^{-r/a_0}.

Passo 5

Montamos a integral e reduzimos a uma forma conhecida:
\int_{0}^{\infty} P(r)\,dr = \int_{0}^{\infty}\frac{1}{24}\,\frac{r^{4}}{a_0^{5}}\,e^{-r/a_0}\,dr =\frac{1}{24\,a_0^{5}}\int_{0}^{\infty} r^{4} e^{-r/a_0}\,dr.
Para avaliar \displaystyle \int_{0}^{\infty} r^{4} e^{-r/a_0}\,dr usamos a identidade padrão (uma forma do integral de Gamma): para \alpha>0 e inteiro n\ge0,
\int_{0}^{\infty} r^{n} e^{-\alpha r}\,dr=\frac{n!}{\alpha^{\,n+1}}.
Derivação rápida dessa identidade: faça x=\alpha r, então r=x/\alpha e dr=dx/\alpha, a integral vira \frac{1}{\alpha^{n+1}}\int_{0}^{\infty} x^{n}e^{-x}dx, e \int_{0}^{\infty} x^{n}e^{-x}dx=n!.
Aqui temos n=4 e \alpha=1/a_0, então
\int_{0}^{\infty} r^{4} e^{-r/a_0}\,dr = \frac{4!}{(1/a_0)^{5}} = 24\,a_0^{5}.

Passo 6

Substituindo esse resultado na integral:
\int_{0}^{\infty} P(r)\,dr=\frac{1}{24\,a_0^{5}}\cdot 24\,a_0^{5}=1.
Portanto a integral vale exatamente 1, como queríamos demonstrar.

Passo 7

Interpretação física (explicada de forma direta): P(r) é a densidade radial de probabilidade; P(r)\,dr é a probabilidade de encontrar o elétron a uma distância do núcleo entre r e r+dr, independentemente da direção. A igualdade
\int_{0}^{\infty} P(r)\,dr = 1
significa que a probabilidade total de encontrar o elétron em algum ponto do espaço é 100\% — ou seja, a função de onda está corretamente normalizada. Em outras palavras, o elétron certamente está em alguma distância r\in[0,\infty) do núcleo.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{\infty} P(r)\,dr = 1.\nA interpretação física: P(r)\,dr é a probabilidade de encontrar o elétron entre r e r+dr; a integral igual a 1 significa que a probabilidade total de encontrar o elétron em algum lugar do espaço é 1 (a função de onda está normalizada).

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