Utilizando-se a Eq. 47-38, mostre que, para o átomo de hidrogênio no estado
e
,
Qual é a interpretação física deste resultado?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) mostrar que, para o átomo de hidrogênio no estado
e
,
e (ii) dar a interpretação física desse resultado. As informações relevantes fornecidas (pela Eq. 47-38, conforme solicitado) são a expressão da parte radial normalizada da função de onda para o estado
. Usarei a forma padrão conhecida para
, que é a que a Eq. 47-38 fornece:
onde
é o raio de Bohr. Também usamos a definição do densidade radial de probabilidade
e o objetivo é integrar
de
a
. Não há mais informações externas necessárias.
Passo 2
Vamos entender o que significa
e por que devemos integrar isso. Em coordenadas esféricas a função de onda estacionária separa-se em parte radial
e parte angular
. A densidade de probabilidade total é
. Ao integrar sobre as duas variáveis angulares (que estão normalizadas), resta a integral radial com o fator jacobiano
. Por isso definimos a densidade radial
que tem a interpretação de densidade de probabilidade por unidade de
(isto é,
é a probabilidade de encontrar o elétron entre
e
, independentemente da direção). A normalização total do elétron implica
Nos passos seguintes vamos calcular explicitamente essa integral para
e mostrar que é igual a
.
Passo 3
Escrevo
novamente e explico cada fator:
- O fator
é a constante de normalização (vem da normalização da parte radial e angular). - O fator
é a dependência radial polinomial para . - O fator
é a decaimento exponencial característico do estado com .
Agora calculemos
e, em seguida,
.
Passo 4
Calcule
. Como
é real aqui,
Simplificando o coeficiente ao quadrado:
Portanto
Agora
dá
Passo 5
Montamos a integral e reduzimos a uma forma conhecida:
Para avaliar
usamos a identidade padrão (uma forma do integral de Gamma): para
e inteiro
,
Derivação rápida dessa identidade: faça
, então
e
, a integral vira
, e
.
Aqui temos
e
, então
Passo 6
Substituindo esse resultado na integral:
Portanto a integral vale exatamente
, como queríamos demonstrar.
Passo 7
Interpretação física (explicada de forma direta):
é a densidade radial de probabilidade;
é a probabilidade de encontrar o elétron a uma distância do núcleo entre
e
, independentemente da direção. A igualdade
significa que a probabilidade total de encontrar o elétron em algum ponto do espaço é
— ou seja, a função de onda está corretamente normalizada. Em outras palavras, o elétron certamente está em alguma distância
do núcleo.