Escreva o operador Hamiltoniano para os seguintes sistemas:
Uma partícula de massa m que oscila harmonicamente em torno de sua posição de equilíbrio sob a ação de um potencial V(x)=\frac{1}{2} k x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o operador Hamiltoniano de uma partícula de massa m sujeita a um potencial harmônico unidimensional V(x)=\tfrac12\,k\,x^2. O conteúdo aqui é a construção do Hamiltoniano em mecânica quântica, que envolve escrever o Hamiltoniano clássico e depois substituir momento e posição pelos respectivos operadores.

Passo 2

O Hamiltoniano clássico dessa partícula é a soma da energia cinética com a potencial:
H_{\text{cl}} = T + V = \frac{p^2}{2m} + \frac12\,k\,x^2.

Passo 3

Na quantização canônica, interpretamos as variáveis x e p como operadores \hat{x} e \hat{p}, com
\hat{H} = \frac{\hat{p}^{2}}{2m} + \frac12\,k\,\hat{x}^{2}.

Passo 4

Na representação em espaço de coordenadas, usamos
\hat{x}\,\psi(x)=x\,\psi(x), \quad \hat{p}\,\psi(x)=-\,i\hbar\,\frac{d}{dx}\,\psi(x).
Substituindo em \hat{H} obtemos
\hat{H} = -\,\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{d^{2}}{dx^{2}} \;+\;\frac12\,k\,x^{2}.

Resposta

\hat{H} = \frac{\hat{p}^{2}}{2m} + \frac12\,k\,\hat{x}^{2} \quad\longrightarrow\quad \hat{H} = -\,\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{d^{2}}{dx^{2}} + \frac12\,k\,x^{2}.

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