Para uma partícula confinada em uma dimensão entre x=0 e x=L, a função de onda é \psi=A \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi}{L} x\right) :
a) Qual a constante de normalização A?
b) Qual a probabilidade de a partícula estar entre x=0 e x=\frac{L}{3} ?

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula no poço infinito unidimensional de comprimento L, com função de onda
\psi(x)=A\,\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{n\pi}{L}x\Bigr)
para 0\le x\le L. Queremos (a) determinar a constante de normalização A aplicando
\int_{0}^{L}|\psi(x)|^{2}\,dx=1
e (b) calcular a probabilidade de encontrar a partícula em 0\le x\le \tfrac{L}{3}, isto é
P=\int_{0}^{L/3}|\psi(x)|^{2}\,dx.

Passo 2

Para normalizar, impomos
\int_{0}^{L}|A|^{2}\,\operatorname{sen}^{2}\!\Bigl(\frac{n\pi}{L}x\Bigr)\,dx=1.
Usamos a identidade
\int_{0}^{L}\operatorname{sen}^{2}\!\Bigl(\frac{n\pi}{L}x\Bigr)\,dx=\frac{L}{2},
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|A|^{2}\,\frac{L}{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad A=\sqrt{\frac{2}{L}}.

Passo 3

Para a probabilidade em 0\le x\le \tfrac{L}{3}, escrevemos
P=\int_{0}^{L/3}\biggl(\sqrt{\frac{2}{L}}\biggr)^{2} \operatorname{sen}^{2}\!\Bigl(\frac{n\pi}{L}x\Bigr)\,dx =\frac{2}{L}\int_{0}^{L/3}\operatorname{sen}^{2}\!\Bigl(\frac{n\pi}{L}x\Bigr)\,dx.
Aplicamos a identidade
\operatorname{sen}^{2}\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2},
de modo que
\int_{0}^{L/3}\operatorname{sen}^{2}\!\Bigl(\frac{n\pi}{L}x\Bigr)\,dx =\int_{0}^{L/3}\frac{1-\cos\!\bigl(\tfrac{2n\pi}{L}x\bigr)}{2}\,dx =\frac{x}{2}\Big|_{0}^{L/3} -\frac{1}{2}\cdot\frac{L}{2n\pi}\sin\!\Bigl(\frac{2n\pi}{L}x\Bigr)\Big|_{0}^{L/3}.
Calculando em x=L/3 e x=0 obtemos
\int_{0}^{L/3}\operatorname{sen}^{2}\!\Bigl(\frac{n\pi}{L}x\Bigr)\,dx =\frac{L}{6}-\frac{L}{4n\pi}\operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{2n\pi}{3}\Bigr).
Multiplicando por 2/L
P =\frac{2}{L}\Bigl(\frac{L}{6}-\frac{L}{4n\pi}\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{2n\pi}{3}\bigr)\Bigr) =\frac{1}{3}-\frac{1}{2n\pi}\operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{2n\pi}{3}\Bigr).

Resposta

a) \displaystyle A=\sqrt{\tfrac{2}{L}}.
b) \displaystyle P=\frac{1}{3}-\frac{1}{2\,n\pi}\,\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{2n\pi}{3}\bigr).

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