Escreva o operador Hamiltoniano para os seguintes sistemas:
Uma partícula de massa
que oscila harmonicamente em torno de sua posição de equilíbrio sob a ação de um potencial
.
Uma partícula de massa
Passo 1
O enunciado pede o operador Hamiltoniano de uma partícula de massa
sujeita a um potencial harmônico unidimensional
. O conteúdo aqui é a construção do Hamiltoniano em mecânica quântica, que envolve escrever o Hamiltoniano clássico e depois substituir momento e posição pelos respectivos operadores.
Passo 2
O Hamiltoniano clássico dessa partícula é a soma da energia cinética com a potencial:
Passo 3
Na quantização canônica, interpretamos as variáveis
e
como operadores
e
, com
Passo 4
Na representação em espaço de coordenadas, usamos
Substituindo em
obtemos