Escreva o operador \hat{A}^{2} para: Dica: Um operador deve sempre agir sobre uma função f(x) qualquer.
\hat{A}=\frac{d}{d x}+x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \hat A^{2} sabendo que
\hat A = \frac{d}{dx} + x
e lembrando que um operador só faz sentido quando age sobre uma função genérica f(x). Vamos então calcular
\hat A^{2}f(x)=\hat A\bigl(\hat A\,f(x)\bigr)
de forma explícita.

Passo 2

Primeiro aplicamos \hat A em f(x):
\hat A\,f(x) = \frac{d}{dx}f(x) + x\,f(x) = f'(x) + x\,f(x).

Passo 3

Agora aplicamos \hat A em \hat A\,f(x):
\hat A\bigl(\hat A\,f(x)\bigr) = \frac{d}{dx}\bigl(f'(x)+x\,f(x)\bigr) + x\bigl(f'(x)+x\,f(x)\bigr).
Vamos expandir cada parte:
\frac{d}{dx}\bigl(f'(x)+x\,f(x)\bigr) = f''(x) + \bigl(x\,f(x)\bigr)' = f''(x) + f(x) + x\,f'(x),
x\bigl(f'(x)+x\,f(x)\bigr) = x\,f'(x) + x^{2}\,f(x).

Passo 4

Somando as duas parcelas, obtemos
\hat A^{2}f(x) = f''(x) + f(x) + x\,f'(x) + x\,f'(x) + x^{2}\,f(x) = f''(x) + 2x\,f'(x) + \bigl(1+x^{2}\bigr)f(x).
Isso mostra que, como operador,
\hat A^{2} = \frac{d^{2}}{dx^{2}} \;+\; 2x\,\frac{d}{dx}\;+\;(1 + x^{2}).

Resposta

\hat A^{2} = \frac{d^{2}}{dx^{2}} \;+\; 2x\,\frac{d}{dx}\;+\;(1 + x^{2}).

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