Mostre que os polinômios de Legendre
e
são normalizados e são ortogonais entre si.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra mostrar duas coisas sobre os polinômios de Legendre
- Conteúdo: teoria de polinômios ortogonais (Legendre)
- O que vamos precisar:
- Saber as fórmulas de
. - Usar a definição de ortogonalidade e normalização:
- Ortonormalidade (ortogonalidade + normalização):
- Normalização:
- Ortonormalidade (ortogonalidade + normalização):
- Saber as fórmulas de
Passo 2
Primeiro, lembra quais são:
A ideia é calcular as integrais
. Se
, deve dar zero (ortogonalidade). Quando
, deve dar
(normalização).
Passo 3
Ortonogonalidade
com
:
Como
e
são funções ímpares, a integral de cada uma delas de
a
é zero. Logo
Passo 4
Ortonogonalidade
com
:
Aqui
e
são pares, mas calcule rapidinho:
,
.
Então
Então
Passo 5
Ortonogonalidade
com
:
Cada termo é ímpar (potências ímpares), logo a integral de cada um entre
e
dá zero. Assim
Passo 6
Normalização de cada
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Os polinômios
são mutuamente ortogonais (
,
) e cada um está normalizado (
).