Mostre que os polinômios de Legendre P1(x), P2(x) e P3(x) são normalizados e são ortogonais entre si.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra mostrar duas coisas sobre os polinômios de Legendre
  • Conteúdo: teoria de polinômios ortogonais (Legendre)
  • O que vamos precisar:
    1. Saber as fórmulas de integral-1^1Pn(x),Pm(x),dx = 0se nneq m, .
    2. Usar a definição de ortogonalidade e normalização:
      • Ortonormalidade (ortogonalidade + normalização): integral-1^1Pn(x)^2,dx = 22n+1
      • Normalização:

Passo 2

Primeiro, lembra quais são:
P1(x)=x, P2(x)=tfrac12(3x^2-1), P3(x)=tfrac12(5x^3-3x)
A ideia é calcular as integrais . Se , deve dar zero (ortogonalidade). Quando , deve dar (normalização).

Passo 3

Ortonogonalidade integral-1^1P1(x),P2(x),dx = integral-1^1 x;tfrac12(3x^2-1),dx = tfrac12!integral-1^1(3x^3 - x),dx com integral-1^1P1P2 = 0 :
Como e são funções ímpares, a integral de cada uma delas de a é zero. Logo

Passo 4

Ortonogonalidade integral-1^1x;tfrac12(5x^3-3x),dx = tfrac12!integral-1^1(5x^4-3x^2),dx com tfrac12l(5cdottfrac25 -3cdottfrac23r) = tfrac12(2 -2) = 0 :
Aqui e são pares, mas calcule rapidinho:
, .
Então

Passo 5

Ortonogonalidade integral-1^1tfrac12(3x^2-1);tfrac12(5x^3-3x),dx = tfrac14!integral-1^1(15x^5 -9x^3 -5x^3 +3x),dx = tfrac14!integral-1^1(15x^5 -14x^3 +3x),dx com integral-1^1P2P3 = 0 :
Cada termo é ímpar (potências ímpares), logo a integral de cada um entre e dá zero. Assim

Passo 6

Normalização de cada integral-1^1P1(x)^2,dx = integral-1^1x^2,dx = tfrac23 = tfrac22cdot1+1 :
  1. Para integral-1^1l[tfrac12(3x^2-1)r]^2dx = tfrac14!integral-1^1(9x^4 -6x^2 +1),dx = tfrac14l(9cdottfrac25 -6cdottfrac23 +2r) = tfrac25 = tfrac22cdot2+1 :
integral-1^1l[tfrac12(5x^3-3x)r]^2dx = tfrac14!integral-1^1(25x^6 -30x^4 +9x^2),dx = tfrac14l(25cdottfrac27 -30cdottfrac25 +9cdottfrac23r) = tfrac27 = tfrac22cdot3+1
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

Os polinômios são mutuamente ortogonais ( , ) e cada um está normalizado ( ).

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