Escreva, na ordem d x d z d y, a integral tripla que fornece o volume do sólido limitado pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2} e pelo plano z=y+2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo paraboloide \;z = x^2 + y^2, e pelo plano \;z = y + 2, usando uma integral tripla na ordem \,dx\,dz\,dy. Vamos projetar o sólido no eixo y, depois em z e finalmente em x.

Passo 2

Para encontrar a extensão em y, determinamos a curva de interseção entre as duas superfícies:
x^2 + y^2 = y + 2
Reescrevendo como
x^2 + \bigl(y - \tfrac12\bigr)^2 = \Bigl(\tfrac32\Bigr)^2,
vemos que, na projeção sobre o eixo y, a variável y varia do ponto mais baixo até o mais alto do círculo, ou seja,
-1 \le y \le 2.

Passo 3

Para um y fixo, o valor de z no sólido fica entre a parte “inferior” dada pelo paraboloide, cujo menor valor em x é quando x=0, ou seja z_{\min}=y^2, e a parte “superior” dada pelo plano, ou seja z_{\max}=y+2. Portanto,
y\text{ fixo}\;\Longrightarrow\;y^2 \le z \le y + 2.

Passo 4

Finalmente, para um par (y,z) fixos, o x deve satisfazer
x^2 + y^2 \le z \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 \le z - y^2 \quad\Longrightarrow\quad -\sqrt{\,z - y^2\,}\,\le x \le \sqrt{\,z - y^2\,}.

Resposta

\int_{y=-1}^{2} \int_{z=y^2}^{\,y+2} \int_{x=-\sqrt{\,z - y^2\,}}^{\sqrt{\,z - y^2\,}} 1 \;dx\,dz\,dy.

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