Escreva, na ordem
, a integral tripla que fornece o volume do sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo paraboloide
, e pelo plano
, usando uma integral tripla na ordem
. Vamos projetar o sólido no eixo
, depois em
e finalmente em
.
Passo 2
Para encontrar a extensão em
, determinamos a curva de interseção entre as duas superfícies:
Reescrevendo como
vemos que, na projeção sobre o eixo
, a variável
varia do ponto mais baixo até o mais alto do círculo, ou seja,
Passo 3
Para um
fixo, o valor de
no sólido fica entre a parte “inferior” dada pelo paraboloide, cujo menor valor em
é quando
, ou seja
, e a parte “superior” dada pelo plano, ou seja
. Portanto,
Passo 4
Finalmente, para um par
fixos, o
deve satisfazer