Calcule, por integração tripla, o volume do sólido do primeiro octante, definido pelos planos
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante (ou seja,
,
,
) delimitado pelos planos
O método será usar uma integral tripla de
sobre a região, ou seja
onde
é o domínio descrito.
Passo 2
Como o sólido é “uniforme” em
entre
e
, podemos escrever
onde
é a projeção de
no plano
. Vamos encontrar essa região.
Passo 3
A projeção
é dada por
As curvas de contorno em
são a reta
e a reta
. Elas se cruzam em
,
. Para cada
de
até
,
varia de
até
. Portanto
Passo 4
Calculando a integral em
:
Logo a área da seção transversal
vale
.
Passo 5
Agora voltamos à integral em
:
Resposta
O volume do sólido é
.