Calcule, por integração tripla, o volume do sólido do primeiro octante, definido pelos planos x=0, z= 0, x=2, y=z e y+z=4.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante (ou seja, x\ge0, y\ge0, z\ge0) delimitado pelos planos
x=0,\quad x=2,\quad z=0,\quad y=z,\quad y+z=4.
O método será usar uma integral tripla de 1 sobre a região, ou seja
V = \iiint_{D} 1\,dV,
onde D é o domínio descrito.

Passo 2

Como o sólido é “uniforme” em x entre x=0 e x=2, podemos escrever
V = \int_{x=0}^{2}\Bigl(\iint_{R_{yz}}1\,dy\,dz\Bigr)\,dx,
onde R_{yz} é a projeção de D no plano yz. Vamos encontrar essa região.

Passo 3

A projeção R_{yz} é dada por
z\ge0,\quad y\ge0, \quad y\ge z, \quad y+z\le4.
As curvas de contorno em yz são a reta y=z e a reta y=4-z. Elas se cruzam em z=2, y=2. Para cada z de 0 até 2, y varia de y=z até y=4-z. Portanto
\iint_{R_{yz}}1\,dy\,dz =\int_{z=0}^{2}\Bigl[\int_{y=z}^{4-z}1\,dy\Bigr]dz =\int_{0}^{2}\bigl((4-z)-z\bigr)\,dz =\int_{0}^{2}(4-2z)\,dz.

Passo 4

Calculando a integral em z:
\int_{0}^{2}(4-2z)\,dz =\Bigl[4z - z^2\Bigr]_{0}^{2} =(8-4)-0 =4.
Logo a área da seção transversal R_{yz} vale 4.

Passo 5

Agora voltamos à integral em x:
V = \int_{0}^{2}4\,dx = 4\bigl[x\bigr]_{0}^{2} = 4\cdot2 = 8.

Resposta

O volume do sólido é 8.

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