(Valor até 20 pts.) Calcule a integral de superfície \iint_{S} F . d s, onde F(x, y, z)= \left(x^{2}+y^{2}, z, z\right) e S é o cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} com vetor normal apontando para fora de S.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo da campo vetorial
F(x,y,z)=(x^2+y^2,\;z,\;z)
através do cone lateral S\colon z=\sqrt{x^2+y^2}, com a orientação “para fora” (isto é, normal apontando para longe do eixo z). Note que S é não‐compacto (vai até z\to\infty), logo o fluxo pode ser um integral impróprio.

Passo 2

Parametrizamos S por coordenadas cilíndricas escrevendo
r(u,\theta)=\bigl(u\cos\theta,\;u\sin\theta,\;u\bigr),
com \theta\in[0,2\pi] e u\in[0,\infty). Então
r_u=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;1), \quad r_\theta=(-u\sin\theta,\;u\cos\theta,\;0).
O vetor normal orientado para fora (longe do eixo) vem de
n\,dS =\bigl(r_u\times r_\theta\bigr)\,d u\,d\theta =(u\cos\theta,\;u\sin\theta,\;-u)\,du\,d\theta.

Passo 3

Em r(u,\theta) temos
F\bigl(r(u,\theta)\bigr) =\bigl(u^2,\;u,\;u\bigr).
Logo o produto escalar é
F\!\cdot(n\,dS) =(u^2,u,u)\cdot(u\cos\theta,\;u\sin\theta,\;-u) =u^3\cos\theta+u^2\sin\theta-u^2.
Integramos \theta de 0 a 2\pi: os termos \cos\theta e \sin\theta somam zero, restando
\int_{0}^{2\pi}\bigl(-u^2\bigr)\,d\theta =-2\pi\,u^2.
Finalmente o fluxo é o integral impróprio
\iint_{S}F\cdot dS =\int_{u=0}^{\infty}\bigl(-2\pi u^2\bigr)\,du =-2\pi\int_{0}^{\infty}u^2\,du,
que diverge (vai a -\infty).

Resposta

O integral de superfície é divergente (não converge para valor finito).

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